学智教育教师备课手册 教师姓名 学 科 教学目标 教学重点、难点 胡伟波 数学 学生姓名 年 级 初三 函数 函数 填写时间 上课时间 课时计划 2 教学内容 个性化学习问题解决 二次函数 二次函数 考点一、二次函数的概念和图像 （3~8分） 1、二次函数的概念 一般地，如果y?ax?bx?c(a,b,c是常数，a?0)，那么y叫做x 的二次函数。 2y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于x??b对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 2a教 学 过 程 抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法： （1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线y?ax?bx?c与坐标轴的交点： 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 考点二、二次函数的解析式 （10~16分） 二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：y?ax?bx?c(a,b,c是常数，a?0) （2）顶点式：y?a(x?h)?k(a,h,k是常数，a?0) 2（3）当抛物线y?ax?bx?c与x轴有交点时，即对应二次好方程ax?bx?c?0有实根x1和22根据二次三项式的分解因式ax?bx?c?a(x?x1)(x?x2)，二次函数y?ax?bx?c可x2存在时，2222
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转化为两根式y?a(x?x1)(x?x2)。如果没有交点，则不能这样表示。 考点三、二次函数的最值 （10分） 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x??b时，2ay最值4ac?b2?。 4ab是否在自变量取值范围x1?x?x2内，2a如果自变量的取值范围是x1?x?x2，那么，首先要看?b4ac?b2若在此范围内，则当x=?时，y最值?；若不在此范围内，则需要考虑函数在x1?x?x22a4a2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x?x2时，当x?x1y最大?ax2?bx2?c，2时，y最小?ax1如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x?x1时，?bx1?c；y最大?ax12?bx1?c，2当x?x2时，y最小?ax2?bx2?c。 考点四、二次函数的性质 （6~14分） 1、二次函数的性质 函数 a>0 y 0 x （1）抛物线开口向上，并向上无限延伸； （2）对称轴是x=?性质 二次函数 y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0) a<0 y 0 x （1）抛物线开口向下，并向下无限延伸； 图像 bbbb，顶点坐标是（?，（2）对称轴是x=?，顶点坐标是（?，2a2a2a2a4ac?b2）； 4a（3）在对称轴的左侧，即当x
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x>?b时，y随x的增大而增大，简记左2a当x>?b时，y随x的增大而减小，简2a减右增； （4）抛物线有最低点，当x=?记左增右减； bb时，y有最（4）抛物线有最高点，当x=?时，y有2a2a最大值，y最大值小值，y最小值4ac?b2? 4a4ac?b2? 4a2、二次函数y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)中，a、b、c的含义： a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上 a<0时，抛物线开口向下 bb与对称轴有关：对称轴为x=? 2a（0，c） c表示抛物线与y轴的交点坐标：3、二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。 因此一元二次方程中的??b?4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。 当?>0时，图像与x轴有两个交点； 当?=0时，图像与x轴有一个交点； 当?<0时，图像与x轴没有交点。 补充： 1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） 如图：点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2） 则AB间的距离，即线段AB的长度为2?x1?x2?2??y1?y2?2 2、函数平移规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间） 左加右减、上加下减 ●难点突破方法总结 函数在中考中占有很重要的地位，是中考必考内容之一。课改实验区的函数综合题其背景材料更加丰富，更加贴近生活，更加注重对解决问题的思维过程的考查，但其计算量和书写量与非课改区相比，又有较大幅度的下降。在完成函数问题方面，要注重以下几点。 1.正确理解和掌握各种函数的概念、图象和性质，这是解决所有函数问题的基本前提。 2.应用函数性质解决相关问题时，要树立数形结合思想，借助函数的图象和性质，形象、直观地解决有关不等式、最值、方程的解、以及图形的位置关系等问题。 3.利用转化思想，通过求点的坐标，来达到求线段长度；通过求线段的长度求点的坐标；通过一元二次方程根的判别式及根与系数的关系来解决抛物线与x轴交点问题。 4.探究性问题的解题思路没有固定的模式和套路，解答相关问题时，可从以下几个角度考虑：（1）特殊点法；（2）分类讨论法；（3）类比猜测法等，最重要的还是要结合具体题目的特点进行分析，灵活选择和运用适当的数学思想及解题技巧。
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分类考查 一、二次函数的定义（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 亿元3000250021581313690212舟山嘉兴宁波湖州绍兴杭州台州11732515（中考题型）反比例函数则n的值是 ． 20001500100050001050的图象经过点（2，5），若点（1，n）在反比例函数的图象上，【方法点拨】由反比例函数解析式y?k(k?0)经过变形，可以得到xy?k，因为k是一个常数，所x以在反比例函数图象上的所在的点的横、纵坐标的乘积是一个定值，根据这个结论，很容易求出这类问题的结果． 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y?x2?4x?1； ②y?2x2； ③y?2x2?4x； ④⑦图3-1 y??3x；⑤y??2x?1； ⑥y?mx2?nx?p； y?4；⑧y??5x。 x2．下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）模型的是（ ） A．在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B．我国人口的自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系 C．矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 D．圆的周长与半径之间的关系 3、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s?5t?2t，则t＝4秒时，该物体所经过的路程为 。 4、若函数y?(m?2m?8)x?4x?5是关于x的二次函数，则m的取值范围为 。 5、已知函数y?(m?3)xm6．如果y=（m-2）xm2?m2222?7?1是二次函数，则m＝ 。 是关于x的二次函数，则m=（ ） A．-1 B．2 C．-1或2 D．m不存在 7、若函数y?(m?2)xm2?2?5x?1是关于x的二次函数，则m的值为 。 ?5x?3是二次函数，求m的值。 ?m8、已知函数y?(m?1)xm2?19、已知抛物线y?(m?1)xm2的开口向下，则m的值为 。 210、已知抛物线y?4x与直线y?kx?1有唯一交点，求k的值。
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二、二次函数的对称轴、顶点、最值 （技法：如果解析式为顶点式y?a?x?h??k，则最值为k；如果解析式为一般式y?ax2?bx?c则24ac?b2最值为） 4a 1. 抛物线y?2x2?4x?m2?m经过坐标原点，则m的值为 . 2. 抛物线y?x2?bx?c的顶点坐标为（1，3），则b＝ ，c＝ . 3. 抛物线y＝x2＋3x的顶点在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4. 若抛物线y＝ax2－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为 ( ) A.13 B.10 C.15 D.14 5. 若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax2＋bx＋c ( ) A.开口向上，对称轴是y轴 B.开口向下，对称轴是y轴 C.开口向下，对称轴平行于y轴 D.开口向上，对称轴平行于y轴 6. 已知抛物线y＝x2＋(m－1)x－1的顶点的横坐标是2，则m的值是 47. 二次函数y=ax2-4x-13a有最小值-17,则a=________. 8. 若二次函数y?3x2?mx?3的对称轴是直线x＝1，则m＝ . 9. 当n＝________，m＝______时，函数y＝(m＋n)x＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________. 10. 函数y=n(x?1)2+4的最小值是 . 11. 若二次函数y=x2-x+m的图象的顶点在x轴上，则m的值为 [ ] A.0B.1C.1221D. 412. (易错题)已知二次函数y?mx?(m?1)x?m?1有最小值为０，则m＝ 13.已知二次函数y??125x?3x?的图象上有三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3，y3)且223?x1?x2?x3，则y1,y2,y3的大小关系为 14.若抛物线y=ax2-6x经过点(2,0),则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) A.13 B.10 C.15 D.14 15.若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(0,-1),(5,-1), 则它的对称轴方程是________.
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