三维Lorenz系统的方程为:
（2）
其中，R是用来控制系统的主要参数。我们通过把系统中的参数设定为a=16，b=4，r=45.9。这样这个系统就表现出了混沌特性，即所谓的混沌系统。研究混沌学的开端就是这个系统的建立，这个混沌系统是目前非常有代表性的混沌系统，人们可以基于这个系统来研究混沌，这为后续的研究做了一个很好的铺垫。产生超混沌吸引子需要具备以下条件：具有消耗构造，方程的维数要多于四维，系统最少有两个很强的非稳定成分的方程，而且这两个方程中至少含有一个非线了减少对原系统的耗散性能的干扰，对于r，通过去零值附近的值。利用微分方程组Lyaponov指数谱的方法使系统产生超混沌运动。
（2）Chua's系统
性方程。系统中的r为控制参数。从理论而言r的值域上限为13.667，并且为
Chua's混沌电路是目前应用最为广泛的混沌电路，它的方程为:
(3) Chen's系统 Chen's电路的方程为:
其中 f(x)=bx+?(|x+e|-|x-e|)(a-b),f（x）为三段线性函数，斜率为a,b。
其中，里面的三个参数都为常数，选取a=35，b=3，c=28时，这个系统就变成了一个混沌系统。其中，a,b,c为常数，选取a=35，b=3，c=28时，能够产生混沌现象。Chen系统具有对称性和不变性。其对称性，通过对系统方程的观察，是
? （3） （4）
7
显而易见的，在（x,y,z)→(-x,-y,z)变化下，系统保持不变。Chen系统的对称性不仅影响到系统轨道在相平面上的运动轨迹还影响到平衡点的周期解分岔和叉式
分岔。当系统系数a+b>c时，Chen系统为耗散系统。当时间t增长到无限大时，系统运动轨迹都会很快的缩小一直到零为止，最后这个系统的状态单元就会集中到这个集合上，此后的运动都会围绕着这个吸引子。
（4） Lü 混沌系统 Lü连续混沌系统方程如下
?? ?x?a(y?x)????y??xz?cy ??? (5) ?xy?dzz??其中（x，y，z）T是系统的状态向量。当系统参数a=36，b=3，c=20,时Lü
系统呈现混沌状态。Lü混沌系统是沟通Lorenz系统和Chen系统间的桥梁。
2.6 混沌的理论分析法
理论分析法，就是人们用抽象的数学公式来研究混沌系统，根据它的特点和已经知道的参数，来得普遍的结论，然后可有用它来解决和指导现实生活中的一些实际问题。像用Lyapunov稳定性定理，来研究混沌的同步。
由于混沌系统的有十分复杂的特性，所以为了能够精确的描述它，数值分析法就是必不可少的，文中中介绍几种分析混沌的数值方法。
现在用下面的混沌系统来讨论：
(6)
公式中X∈Rn是系统的状态，系统的参数为p，它的光滑函数则为f。如果把初始条件设为X1，那么系统的解为
X=X（t; t1, X1, p） (7) （1）混沌运动的相图
公式（6）描述的系统，称系统的运动所滑过的轨迹在相空间中被称为相图。 （2）混沌运动的时间历程图
公式（7）定义的解轨线，是混沌系统运动的时间过程图。同时又因为混沌的局部不稳定整体稳定是它的特点，不管初始值是什么样的，都可以得到相同的结果。
（3）混沌的功率谱
混沌运动不是周期运动，所以它的功率谱和那种周期运动的是不一样的，它的功率谱是连续的。而且它的功率谱是起伏的，这是因为混沌的复杂特性的表现，这个和白噪声的功率谱有着本质的不同。
8
功率谱的两种计算方法：
第一种是取样本函数的傅里叶换平方时间均值，
第二种方法是用时间有关的傅里叶变换，
（8）
其中的Rx(τ)是函数的自相关函数，
(9)
（4）Lyapnnov指数
(10)
李雅普诺夫指数是判断一个系统是否为混沌的重要参数，它是定量的描述混沌的物理量。当数值小于零时，意味着相体积收缩，运动比较稳定，而且初始值对它的影响比较小；当它等于零的时候，系统就正好是临界状态；当数值大于零时，意味着相邻轨道分散，并且系统对于初始值十分敏感，系统的运动呈现出混沌状态。
2.7 混沌的相空间表征方法
（1）相空间重构
相空间重构是比较成熟的研究混沌的方法，它是据有限的数据来构造吸引子去研究系统的动力的方法，其中基本的思路是：系统中分量的演变是由和它相互作用的分量所决定的，一个分量的信息隐藏在另一个分量的变化之中，这就是所谓的有一个观察量可以还原出原来的系统模型。
设一个时间序列为{X i}（i可以为任何自然数），对其重新构造的相空间元素是
数。
(11)
公式（11）中：m是重新构造相空间的维数；τ则为延迟的时间间隔，并且是正
根据takens定理知道，如果没有噪声影响的无限个精确数据情况下，可以随便选择τ，但是如果时间的序列是有有限长的话，同时一边情况下噪声影响是不可避免的，所以在τ的数值选取十分的重要。一般来说人们都是根据经验来选择τ的值，选择的思想一般是这样子的，让xj和xj+τ具有一种独立但是同时并不是
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完全不相关，方便在建立相空间中可以独立的处理座标。在现实中，一般用线性自相关函数或者是平均互信息的方法。在冗余和不相关之间，在泛数下来定义平均位移S（m,τ）:
在泛数定义下的平均位移S0(m,τ)为：
(12)
(13)
在没有特别说明的情况下，两个式子中的位移都记为S。平均位移表示了状态空间的轨道打开的程度，定量分析了当τ改变时对于冗余的影响。 （2）最小嵌入维数的确定
根据重构空间理论，给出以下几种确定最小的嵌入相空间的办法。 最大特征值不变法
向量集{Xj|j=1,2,3,?，p}包含所有的时间序列，通过所学数学知识可以得到，向量集构成的空间的轨道保留了原来的一些特征。那么由向量集可以构建下面的矩阵
（14）
可以找到X的协方差矩阵，由此可以将其变成标准型，那么这个新构建的相空间的一组完全正交基就是现在这个矩阵的特征向量。当空间的维数逐渐变大的时候，这时矩阵的特征值是不变化的。这样就确定了最小相空间的维数。
几何不变法
对于最小嵌入的相空间维数，一些人先后从理论上验证了当2d+1≤m时可以得到一个吸引子，公式里面的d代表着吸引子的维数，这只是一个充分条件，对于被测的时间序列如何选择m是没有任何帮助的。在实际应用中最常用的办法是计算吸引子的几何不变量，慢慢的增加m一直到这些不变量停止变化。通过数学推导，吸引子的性质是由这些不变量决定的，所以当m比最小值要大的时候，就可以完全打开系统的几何结构，所以它们和维数就毫无关系了，所以当它的几何不变量不再变化的时候，此时m的值就是最小的嵌入维数。 伪临近点法
这种方法是一种源于几何观点出发的方法，它的基本思想是：当维数增加1时，观察轨线临点中的伪临点和真实的临点，可以这样认为当伪临点不存在时，系统的几何结构就完全被打开了。假设X0和X1是相距最近的临点，他们之间的距离是||Xη-Xi||(m);然后当维数增加1时，他们之间的距离变为||X0-X1||(m+1)。假设
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两次的距离相差很大，可以肯定这是由于较高维数的吸引子中的两个分离的点，影射到较低维度的时候造成的结果，所以这样的临点是错的。若
(15)
那么Xη是Xi虚假临近点，阈值RT可以在[10-50]中选取。对于无限多的精确数据，可以用上面的标准来获得比较好的结果；对于有限长的可以根据下面的标准来评判:
若
其中，
对于实际测试的时间序列，m从2开始，同时取RT=30，算出为临近点的比改变时，就可以认为完全打开，此时m的值即为最小的嵌入相空间的维数。
预测误差最小值法
例，然后当m据离临近点的比例低于5%或者伪临近点不会在跟着m的改变而
对于实际测量的时间，可以根据takens的嵌入定理，当τ为最好的时间间隔的时候，m为最小维数的时候，则存在映射F：Rm→Rm，让
通过映射的连续性，当Xi和Xj靠近的时候，xi+1+(m-1)τ和xj+1+(m-1)τ也在相应的靠近，把Xη（l）是Xi的最为接近的临近点，即
计算平均预测误差，得到
当m小于嵌入维数的时候，预测误差较大：当m为最小的维数时，E（m,τ）减小；当天继续增大时，因为噪声的原因，E会增加。所以，当E最小的时候m为最小嵌入相空间维数。
经验赋值法
|||X|| (16)
(17) (18)
(19)
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