量子力学试题（一）及答案
一. （20分）质量为m的粒子，在一维无限深势阱中
0?x?a?0, V?x???
?, x?0,x?a?中运动，若t?0时，粒子处于 ??x,0??111?1?x???2?x???3?x? 232状态上，其中，?n?x?为粒子能量的第n个本征态。
（1） 求t?0时能量的可测值与相应的取值几率；
（2） 求t?0时的波函数??x,t?及能量的可测值与相应的取值几率 解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为
2ma2
2n??n?x??sinxaa（1） 首先，将??x,0?归一化。由
En??2?2n2, n?1,2,3,?
??1?2?1?2?1?2?2?????????c?1 ???????2??3???2????可知，归一化常数为
c?于是，归一化后的波函数为 ??x,0??能量的取值几率为
643; W?E2??; W?E3?? 131313能量取其它值的几率皆为零。
（2） 因为哈密顿算符不显含时间，故t?0时的波函数为
12 13643?1?x????2?x???3?x? 131313 W?E1????x,t??
64?i??i??1?x?exp??E1t???2?x?exp??E2t??1313??????3?i??3?x?ex?p?E3t?13???
（3） 由于哈密顿量是守恒量，所以t?0时的取值几率与t?0时相同。
二. （20分）质量为m的粒子在一维势阱
x?0??. ? 0?x?a V?x????V0, ?0, x?a?中运动?V0?0?，若已知该粒子在此势阱中有一个能量E??此势阱的宽度a。
解：对于E??V0的状态，试确定2V0?0的情况，三个区域中的波函数分别为 2??1?x??0? ??2?x??Asinkx
???x??Bexp???x??3其中，
k?2m(E?V0)?; ? ? 2mE?
在x?a处，利用波函数及其一阶导数连续的条件 得到
于是有
tanka??此即能量满足的超越方程。
1当E??V0时，由于
2k?2?a???3?a???a????a?'2'3
Asinka?Bexp???a?Akcoska??B?exp???a?
?
?mV0?na??????1 ta????mV0???mV0故
最后，得到势阱的宽度
mV0?a?n???4 ，n?1,2,3,?
1?? ?? a??n??
4?mV0??的本征矢为n，?n?构成正交归一完备系， 三.（20分）设厄米特算符H定义一个算符
??m,n???? Umn?,U??m,n?； （1） 计算对易子H????m,n?U???p,q???U?（2） 证明Unq?m,p?； ??m,n?； （3） 计算迹TrU?的矩阵元为A??A??，证明 （4） 若算符Amnmn????AU A?mn??m,n?
m,n?U???p,q? Apq?TrA 解：
（1）对于任意一个态矢?，有
???,U??m,n????H
?U??m,n???U??m,n?H????H
???????H???Hmnmn??m,n???EU?EmUn?m,n?????m,n???Em?En?U故
?,U??m,n???E?E?U??m,n? Hmn??m,n?U??p,q????????U??m,p? （2）Umnpqnq?? （3）算符的迹为
??m,n????U??m,n???TrUkkk????kk?m?n?k??n?m??mn
（4）算符
????????A??m?mA??m?mAnn 而
mm,n??m,n??AmnUm,n
??????Apq??pA??p?k?kAqqk
??kk??????U???p,q??? A??kAqpkk?U???p,q?TrA四. （20分）自旋为
??k1??、固有磁矩为???s（其中?为实常数）的粒子，处 2???于均匀外磁场B?B0k中，设t?0时，粒子处于sx?的状态，
2（1） 求出t?0时的波函数；
?z的可测值及相应的取值几率。 ?x与s（2） 求出t?0时s解：体系的哈密顿算符为
? B0?????z???z????z ? H????B??? B0s2在泡利表象中，哈密顿算符的本征解为
E1??, ?1 ?? E2???, ?2???的状态，即 2
在t?0时，粒子处于sz? ??0???x
?x满足的本征方程为 而??01??a??a???? ??10??b?????b?? ??????解之得
?
x??1212??????????
?x由于，哈密顿算符不显含时间，故t?0时刻的波函数为
??t??11?i??i?ex?p?E1t???ex?p?E2t?? 22???????,s?z?0，所以sz是守恒量，它的取值几率与平均值不随时间改 （2）因为H变，换句话说，只要计算t?0时sz的取值几率就知道了t?0时sz的取值几率。
由于
??1??1?? W?sz?,0??；W?sz??,0??
2?22?2????故有
sz?0
而sx的取值几率为
???W?sx?,t??2??
x???t?2??????? ??2?1??i??i???????exp?Et??exp?Et????12???2????????1??i??i??2B0?exp?Et?exp?Et?cost????12??2???2?????2???2B0? W?sx??,t??sint
22??五. （20分） 类氢离子中，电子与原子核的库仑相互作用为
Ze2 V?r???（Ze为核电荷）
r2e???，试用微扰论计算它对能量当核电荷变为?Z?1?e时，相互作用能增加Wr的一级修正，并与严格解比较。
解：已知类氢离子的能量本征解为
Z2e2Enlm?E??2, n ? nr?l?12na0
00nnlm?2式中，a0?2为玻尔半径。
?e能量的一级修正为