?1??nlm??e2nl1nl ?nlmW Enr由维里定理知
1 T??V
2总能量
1Ze21nlnl En?T?V?V??22r所以，得到 En?1?2En1Ze2??enlnl???2, n ? 1 ,2,3,?
rZna02微扰论近似到一级的能量为
Z2e2Ze2 En??2?2
2na0na0而严格解为
(Z?1)2e2Z2e2Ze2e2 En????2?2?2
2n2a02na0na02na0
量子力学试题（二）及答案
一、（20分）在t?0时刻，氢原子处于状态
?1???(r,0)?C??1(r)??2?1?2(r)?3??1?3(r)? 2??式中，?n(r)为氢原子的第n个能量本征态。计算t?0时能量的取值几率
与平均值，写出t?0时的波函数。
解：氢原子的本征解为
? e41
En??22??nlm?r??Rnl?r?Ylm??,??
其中，量子数的取值范围是
2?nn?1,2,3,?；l?0,1,2,?,n?1，m??l,?l?1,?,l?1,l
由波函数归一化条件可知归一化常数为
?111?C??????232?不为零的能量取值几率为
?12?3 2W?E1??W?E3??能量平均值为
13??WE?； 248?3?1?11?23? e4?8?1?9??4?4???48?2
????31? e4E?(E1?E3)?E2??842?2当t?0时，波函数为
???3?3?i?1?i??i???r,t???1?r?exp??E1t???2?r?exp??E2t???3?r?exp??E3t?88???2??????
二、 （20分）设粒子处于一维势阱之中
x?0??, ?0?x?a V(x)???V0, ?0, x?a?式中，V0?0。导出能量本征值满足的超越方程，进而求出使得体系至少存在
一个束缚态的V0值。
解：对于E?0的情况，三个区域中的波函数分别为
??1?x??0???2?x??Asin?kx??? ???x??Bexp???x??3其中，
k?利用波函数再
2m(E?V0)?; ??2mE?
x?0处的连接条件知，
??n?在
，n?0,1,2,?
x?a处，利用波函数及其一阶导数连续的条件
?2?a???3?a? ''?2?a???3?a?得到
Asin?ka?n???Bexp???a?
Akcos?ka?n????B?exp???a?于是有
tanka??此即能量满足的超越方程。
k?
由于，余切值是负数，所以，角度ka在第2、4象限。超越方程也可以改写成
sin?ka??式中，
k0?ka
k0a2?V0?
因为，sin?ka??1，所以，若要上式有解，必须要求
k0a?ka
当ka??2时，
sin?ka??1，于是，有
k0a?a?2?V0?
?
2整理之，得到
?2?2V0? 28? a三、（20分）在动量表象中，写出线谐振子的哈密顿算符的矩阵元。 解：在坐标表象中，线谐振子的哈密顿算符为
1??1p?2?m?2x2 H2m2在动量表象中，该哈密顿算符为
211d11d??22222??Hp?m??i?p?m????2 2m22m2dp?dx?2由于动量的本征函数为?p?p，故哈密顿算符的矩阵元为
2?1?1222d''Hp'p''???p?p?p?m???p?pdp2?2dp??2m?? 2?1?21d'''??p''?m?2?2?p?p?''22m2dp??????'??'?????????四、（20分）设两个自旋为
1非全同粒子构成的体系，哈密顿量2??????分别是粒子1和粒子2的自???H?Cs1?s2， 其中，C为常数，s1与s2旋算符。已知t旋沿
?0时，粒子1的自旋沿
z轴的正方向，求t和粒子2的自旋处于z轴负方向的几率。
z轴的负方向，粒子2的自
?0时测量粒子1的自旋处于z轴负方向的几率
解： 体系的哈密顿算符为
??22??s??C?s??Cs?2?s?1?2?H?s 122选择耦合表象，由于s?0,1，故四个基底为
1?11；2?1?1；3?10；4?00
在此基底之下，哈密顿算符是对角矩阵，即
?1???C?2?0H?04??0?可以直接写出它的解为
E1?010000100??0? ?0??3??C2?， ?14?11???
E2?C2?， ?2?1?1??? 4E3?C21?， ?3?10?423C2?， ?44?00????12????
???E4??????
已知t?0时，体系处于
??0?????12?10?00?
因为哈密顿算符不显含时间，故t?0时刻的波函数为
?1??i??i?exp?E10?exp?E00???3?4???2????????
1i?1?3i????????exp????C?t??????expC?t????2?4?2?4???t??粒子1处于
z轴负方向的几率为
????t?2???W?s1z??,t??2??1212?????t?22???i??3i??exp?C?t?expC?t??????44????????i??i??exp?C?t?expC?t??????22????????cos2C?t2
2而粒子2处于
z轴负方向的几率为