???W?s2z??,t??2??1212????t?2?????t?22??i???3i??exp?C?t?expC?t??????44???????i???i??exp?C?t?expC?t??????22????????sin2C?t2
2五、 （20分）作一维运动的粒子，当哈密顿算符为
?H0?2p0??V?x?时，能量本征值与本征矢分别为En与n，如果哈密顿2????H???p算符变成H（?为实参数）时， 0? （1）利用费曼－海尔曼定理求出严格的能量本征值。
（2）若???1，利用微扰论计算能量本征值到二级近似。
解：首先，利用费因曼－赫尔曼定理求出严格的能量本征值。 视?为参变量，则有
???Hp? ???利用费因曼-赫尔曼定理可知
??En?H1?n ?nn?np?????又知
dx1??1?x,Hdti?i??在任何束缚态n下，均有
???p??21????? ?px,??p???2???n所以，
dx1?n?1nxH??H?xn?0 n?nx,Hdti?i????n??? np进而得到能量本征值满足的微分方程
?En?
?????对上式作积分，得到
?2En???c
2?利用???H?，定出积分常数 ?0时，H00c?En
?的本征值为 最后，得到H?2 En?E?2?0n其次，用微扰论计算能量的近似解。
?满足的本征方程为 已知H0?n?E0n H0n由
1?x,H0i?????? p可知
pmn?第k个能级的一级修正为
?Ei??0n0?Emxmn
??1?Ek?Wkk??pkk?0 ?能量的二级修正为
?2?Ek??n?kWknWnk?00Ek?En0n0?Ekxkn??22?n?k?Ei?n?k??00Ek?En0n0?Ekxnk?Ei?2?0k0?Enxnk?
???2?2??E?为了求出上式右端的求和项，在H0表象下计算
?xp?kk??xknpnkn??i??xknEk0?En0xnk??n???E?i?n?0n0?Ekxnk
?2可以证明，对于任意实束缚态波函数k，有
?xp?kk于是，得到
?1i? 22??En?k0n?E0k??xnk?2? 2?得到
Ek近似到二级的解为
?2??2?2?2??2??
2??2??2 Ek?E?2?0k
量子力学试题（三）及答案
一、（20分）已知氢原子在t?0时处于状态
?1?2?0??1?12 ?(x,,0)??2(x)????1(x)????3(x)??
3?0?3?1?3?0?其中，?n(x)为该氢原子的第n个能量本征态。求能量及自旋z分量的取值概率与平均值，写出t?0时的波函数。
解 已知氢原子的本征值为
E1n???e42?2n2， n?1,2,3,? 将t?0时的波函数写成矩阵形式
? ?(x,0)??12??3?2?x??3?3?x???? ???23??1?x???利用归一化条件
?c?dx??1?*x?2?*?2??12?2?3?x3?x??x????32??3?3?*x?2??????33???1???????23?x??1??? ???124?27?9?9?9??c?29c于是，归一化后的波函数为
?19?3?2?x??23???3?x???1??72?x??2?3?x??? ?(x,0)?7?7???2???????3?1?x??????47?1?x???能量的可能取值为E1,E2,E3，相应的取值几率为
W?E41,0??7;W?E2,?0?17;W?3E?,?027 能量平均值为
E?0??4 7E121?7E2?7E3??e4?411121?161?e4 ?2?2??7?1?7?4?7?9????504?21）2）3）4）5）6） （
（ （
（ （ （
??自旋z分量的可能取值为,?，相应的取值几率为
22?? W?sz?,2????123?0????W;?sz??,?0?2??777?4 （7） 7自旋z分量的平均值为
3?4???? sz?0?????????? （8）
727?2?14 t?0时的波函数
?12?i??i???xexp?Et??xexp?Et?????22?33????7?7???????(x,t)?? （9）
??4?i?????xexp?Et??11????7?????二. （20分） 质量为m的粒子在如下一维势阱中运动?V0?0?
x?0??. ? V?x????V0, 0?x?a ?0, x?a?若已知该粒子在此势阱中有一个能量E??V0的状态，试确定此势阱的宽度a。 2解 对于?V0?E?0的情况，三个区域中的波函数分别为
??1?x??0? ??2?x??Asin?kx??? （1）
???x??Bexp???x??3其中，
k?2m(E?V0)?; ? ? 2mE? （2）
利用波函数再x?0处的连接条件知，??n?，n?0,1,2,?。 在x?a处，利用波函数及其一阶导数连续的条件
得到
Asin?ka?n???Bexp???a? （4）
Akcos?ka?n????B?exp???a??2?a???3?a?'?a???3'?a??2 （3）