于是有
tan?ka???此即能量满足的超越方程。
1当E??V0时，由于
2?mV0?tan?a????????mV0???1mV0?k? （5）
（6）
故
最后得到势阱的宽度
mV0?a?n???4 ?n?1,2,3,??
（7）
1?? ??a??n??4?mV0?（8）
三、（20分） 证明如下关系式
????j满足 ?j??j?i??j。 （1）任意角动量算符?证明 对x分量有
????j?j??j?j=i??j
???j??jxyzzyx同理可知，对y与z分量亦有相应的结果，故欲证之式成立。
?n?nn是一个厄米算符，其中，?n?是任意正交归一的完备本投影算符p征函数系。
?n的矩阵元为 证明 在任意的两个状态?与?之下，投影算符p?n???nn? ?p??n的共軛算符p?n而投影算符p的矩阵元为
*?*?n?n???p????p????p?n???
??nn??*????n????n?????nn?**
?n显然，两者的矩阵元是相同的，由?与?的任意性可知投影算符p是厄米算符。
*?x?mn??xmk?p?x?kn，利用??k其中，??k?x??为?x'??k?x????x'?x?证明?xpkk任意正交归一完备本征函数系。
证明
?x?mn?xp??????*?x?n?x??dx?m?x?xp??????dx?*m?x?n?x???x?x?dx'??x'?x?p?????*?x'?n?x'??dx?m?x?x?dx'??x'?x?p???
??????x???dx??x?x?dx???x???x?p*m'*k''k??kx'n?
??kkdx?*m??mkx'*''?xp?x?x?x?k?x??dx??????knx'??????x?pkn四、（20分） 在L2与Lz表象中，在轨道角动量量子数l?1的子空间中，分
?、L?的矩阵元，进而求出它们的本征值与相应的本征矢。 ?与L别计算算符Lxzy解 在L2与Lz表象下，当轨道角动量量子数l?1时，m?1,0,?1，显然，算
?、L?皆为三维矩阵。 ?与L符Lxzy?是对角矩阵，且其对角元为相应的本征值，于是由于在自身表象中，故Lz有
?1???0 Lz??0?0??00? （1）
?0?1?0相应的本征解为
?1???Lz??; ? 1 ? ? ?0?0????0??? 0 ? ? ? 1 Lz?0; ? （2）
??0???0L; ? ? ????z???? 1 0??1???对于算符L?x、L?y而言，需要用到升降算符，即 L??1x?L??L? 2????? L?y?12iL???L??而
L??lm???l?l1???mm?1?,l?m1 当l?1,m?1,0,?1时，显然，算符L?x、L?y的对角元皆为零，并且， 1,?1L?
x1,?1?1,L?y1?1,1,1L?x1?,?11L??1?, 11 00 y,1只有当量子数m相差?1时矩阵元才不为零，即
1,?1L?x1,?01L?,x0?1?,1L?x1,0?1L?,11?,1?x21, 1,0L?y1?,?11L?y,1?1?,0i?2 1,?1L?y1,?01L?,?1i,?y021于是得到算符L?x、L?y的矩阵形式如下 ?010??0? L?x???2?101?i?;L ?i?0?0???i ???010?y?2? ???0i0??L?y满足的本征方程为 3）
4）
5）
6）
7） （ （ （0 （ （
?0???i2??0?i0i0??c1??c1???????i? ?c2????c2? （8）
???c?0???c3??3?i?2?i?2相应的久期方程为
???0i?2?0
i?20?? （9）
??将其化为
?3??2??0 （10） 得到三个本征值分别为
?1??; ? 2 ?0; ? 3 ??? （11） 将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为
??i??1??i??????111??1??2?; ?2?0; ??2???? 32?2?2????i1??????i? （12）
?满足的本征方程为 Lx?0??12??0?1010??c1??c1??????1? ?c2????c2?
???c?0???c3??3?（13）
相应的久期方程为
???2???20??02??
?20
（14）
将其化为
?3??2??0 （15） 得到三个本征值分别为
?1??; ? 2 ?0; ? 3 ??? （16） 将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为
?1??1??1???1?1??1??1??2?; ?2?0; ???2?? 3??2?2?2????1?11?????? （17）
五、（20分） 由两个质量皆为?、角频率皆为?的线谐振子构成的体系，
???? xx（x1,x2分别为两个线谐振子的坐标）后，用微扰论加上微扰项W12求体系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。
提示： 线谐振子基底之下坐标算符的矩阵元为
mxn?1???n2?n?1?m,n?1?2?m,n?1?
??式中， ?????。
解 体系的哈密顿算符为
H??H?0?W? 其中
? H?12??p?2?p?2??122??2?x20121?x2? W???? x1x2已知H?0的解为 E0n??n?1???? n??x1,x2???n1?x1??n2?x2?其中
n1,n2,n?0,1,2,???1,2,3,?,f n将前三个能量与波函数具体写出来
E00???; ?0??0?x1??0?x2?E01?2??, ?11??0?x1??1?x2? ?12??1?x1??0?x2?E0?3??, ? 21??2?x1??0?x2? 2 ?22??0?x1??2?x2? ?23??1?x1??1?x2? 对于基态而言，n1?n2?n?0，f0?1，体系无简并。
1） 2） 3）
4）
5）
（ （ （ （ （利用公式
?mx?n?可知
?1????0 E0??0W0?1?nn?1????m,n?1m,n?1? （6） ??22?E0????2?fn????0Wn??n?W?000 （7）
n?0??1E0?En显然，求和号中不为零的矩阵元只有
?0W??23??23W??0???2?2 于是得到基态能量的二级修正为
2 E?2??1??2?0E004??23 0?E24?8??第二激发态为三度简并，能量一级修正满足的久期方程为
W?1?11?E2W12W13 W21WE?1?22?2W23?0 W31W32W?1?33?E2其中
W11?W22?W3?3W1?2W0?21 W? 13?W31?W2?3W3?2?2?2将上式代入（10）式得到
?E?1?20??2?2 0?E?1?2??2?2?0 ????E?1?2?2?2?22整理之，E?1?2满足
??E?1?32???2?1??4E2?0 于是得到第二激发态能量的一级修正为
E?1???21???1??0; E?1?2; E22?23??2
（8） （9） 10）
11）
12） 13） 14） （ （ （ （ （