则G ==51.28。
需要说明的是，这种计算方法虽然比较简单，但由于将不同收入分组假定为近似等差数列，因此，算出的结果是有误差的，从理论上讲，这种方法计算的基尼系数，比实际的基尼系数要略高。表2是根据五分法计算的历年基尼系数。
表2 用简易公式计算出的中国历年基尼系数
年份 最低收入的20% 最高收入的20% 基尼系数（%） 2007 2006 2005 2004 2003 2002 2001 2000 1999 1998 4.41 4.54 4.68 4.69 5.62 4.88 5.12 5.43 5.98 6.12 51.29 56.13 55.96 54.77 53.28 51.58 48.07 45.56 44.18 42.96 46.88 51.59 51.28 50.08 47.66 46.70 42.95 40.13 38.21 36.84
参考资料：
1. 王祖祥，《分组数据条件下基尼系数的有效估算方法》，载《数量经济技术经济研究》，2001年第8期。
2.雍红月等，《基尼系数的计算方法与实证分析》，载《内蒙古大学学报》，2007年第2期。
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5.胡祖光，《基尼系数和统计数据——以浙江省为例》，载《浙江社会科学》，2005年第4期。
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7. 张建华，《一种简便易用的基尼系数计算方法》，载《山西农业大学学报》(社会科学版)，2007年第6卷(第3期)。
[1]Q=城镇居民人均收入×城镇人数+农村居民人均收入×人数）÷总人数
费马定理
费马在数学方面作出了卓越的贡献，早年主要研究概率论，对于数论和解析几何都有深入研究。他对微分思想的运用比牛顿和莱布尼兹还要早，在他所著《求最大值和最小值的方法》一书中，已对微分理论进行了比较系统的探讨。他把直线平面坐标应用于几何学也早于笛卡儿，在其所著〈平面及空间位置理论的导言〉中，最早提出了一次方程代表直线，二次方程代表截线，对一次与二次方程的一般形式，也进行了研究。费马还研究了对方程ax2+1=Y2整数解的问题。得出了求导数所有约数的系统方法。
著名的费马大定理是费马提出的至今尚未解决的问题。1637年费马提出：“不可能把一个整数的立方表示成两个立方的和，把一个四次方幂表示成两个四次方幂的和，一般地，不可能把任一个次数大于2的方幂表示成两个同方幂的和。”1665年这一定理提出后，引起了许多著名数学家的关注，至今尚在研究如何证明它的成立，但始终毫无结果。
费马在光学方面，确立了几何光学的重要原理，命名为费马原理。这一原理是几何光学的最重要基本理论之一，对于笛卡儿的“光在密媒质中比在疏媒质中传播要快”的观点给予了有力的反驳，把几何光学的发展推向了新的阶段。
几何光学已有悠久的发展历史。公元前400年，我国《墨经》中便有光的直线传播和各种面镜对光的反射的记载。公元100年亚历山大里亚的希罗（Hero）曾提出过光在两点之间走最短路程的看法。托勒密在公元130年对光的折射进行过研究。公元1611年开普勒对光学的研究达到了较高的定量程度。最后，1621年斯涅尔总结出了光的折射定律。费马则是用数学方法证明了折射定律的主要学者之一。 费马原理是根据经济原则提出的，它指出：光沿着所需时间为极值的路径传播。可以理解为，光在空间沿着光程为极值的路传播，即沿光程为最小、最大或常量路径传播。 费马定理不但是正确的，同时它与光的反射定律和折射定律具有同等的意义。由于费马原理的确立，几何光学发展到了较为完善的程度。
费马（Pierre de Fermat,1601--1665）法国数学家、物理学家。生于博蒙德罗曼。其父曾任法国图卢兹地方法院的法律顾问。本人身为律师，曾任图卢兹议会的顾问30多年。他的一系列重要科学研究成果，都是利用业余时间完成的。
费马点
而费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小。即在ABC内求一点P,使 PA+PB+PC之值为最小,人们称这个点为“费马点”。
今天我们来探索费马点。首先将三角形分为两种情况:
①当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，则费马点就是这个内角的顶点。 下面来验证这个结论: 对三角形内任意一点P,延长BA至C’使得AC=AC’，做∠C’AP’=∠CAP，并且使得AP’=AP, PC’=PC，即把三角形APC以A为中心做旋转变换(如图)。
则△APC≌△AP’C’（旋转的不变性）
∵∠BAC≥120°（已知）
∴∠PAP’=180°-∠BAP-∠C’AP’（平角的意义）=180°-∠BAP-∠CAP（等量代换）=180°-∠BAC≤60°
∴等腰三角形PAP’中（已知AP’=AP），AP≥PP’（∠PAP’＜∠AP P’）
∴PA+PB+PC≥PP’+PB+ P’C’>BC’（两边之和大于第三边）=AB+AC（已知AC=AC’） 所以A是费马点。即之前的结论。 下面探讨第二种情况：
②如果三个内角都在120度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。 做△ABC内一点P，使得∠APC=∠BPC=∠CPA=120°，分别作PA,PB,PC的垂线，交于D,E,F三点（如图），再作一点P’，不与点P重合，连结P’A,P’B,P’C，过P’作P’H垂直EF于H。
∵∠APB=120°，∴∠PAB+∠PBA＝180°－120°=60° 且∠PAF=∠PBF=90°，∴∠F=180°－（90°+90°－60°） 同理可得：∠D=∠E=∠F=60°，即△DEF为等边三角形，设边长为d，面积为S。 则S= 1/2 d (PA+PB+PC) ∵P’H ≤ P’A
∴ 1/2×d×P’H×2S ≤1/2 ×d ×P’A×2S
又∵1/2×d×P’H=△EP’F ∴ 2S△EP’F≤ d ×P’A×S
同理有：2S△DP’F≤d ×P’B×S ， 2S△EP’D≤d ×P’C×S 相加，得：2S(△EP’F+△DP’F+△EP’D)≤ d ×S (P’A+P’B+P’C) 又∵△EP’F+△DP’F+△EP’D=△EDF 2S×S ≤ d ×S (P’A+P’B+P’C) 两边同除以S，得：2S ≤ d (P’A+P’B+P’C) 把S= 1/2 ×d (PA+PB+PC)代入上式可得：
PA+PB+PC≤P’A+P’B+P’C，当且仅当P,P’重合时取到等号。 所以P是费马点，即与上述结论相符合。
经过上述的推导，我们即得出了三角形中费马点的找法： 当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在120度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。
初二㈢班 林贤昊
费马（Pierre de Fermat,1601—1665）是法国数学家、物理学家。费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余之爱好。然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌。他是解析几何的发明者之一；概率论的主要创始人；以及独承17世纪数论天地的人。一代数学大师费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家。尤其他提出的费马大定理更是困惑了世间智者358年。转贴于 中国论文下载中心 莱布尼茨数学思想的统一性
戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（１６４６～１７１６）对数学有两项突出贡献：发明了符号逻辑和微积分。由于这两项成就分属不同的数学分支，人们也往往将其看作莱布尼茨的两种不同工作，忽视了它们之间的一致性，这为研究莱布尼茨的数学思想、完整地理解数学史和科学发现的规律带来不少困难。本文的目的就是试图理解的揭示这种一致性。
一、符号逻辑： “通用数学语言”
莱布尼茨对数学问题的最早探索和最初贡献是试图沿着笛卡尔和霍布斯的思路建构所谓的“通用语言”。这种语言是一种用来代替自然语言的人工语言，它通过字母和符号进行逻辑分析与综合，把一般逻辑推理的规则改变为演算规则，以便更精确更敏捷地进行推理。（［１］，ｐ．８）或者说，“通用语言”是一套表达思想和事物的符号系统，利用这些符号可以进行演算并推出各种知识。在《论组合术》中，二十岁的莱布尼茨曾立志要创设“一个一般的方法，在这个方法中所有推理的真实性都要简化为一种计算。同时，这会成为一种通用语言或文字，但与那些迄今为止设想出来的全然不同；因为它里面的符号甚至词汇要指导推理；错误，除去那些事实上的错误，只会是计算上的错误。形成或者发明这种语言或者记号会是非常困难的，但是可以不借助任何词典就很容易懂得它。”（［２］，ｐ．１２３）在１６７９年９月８日给惠更斯的信中他又写道，有一个“完全不同于代数的新符号语言，它对于精确而自然地在脑子里再现（不用图形）依赖于想象的一切有很大的好处。……它的主要效用在于能够通过记号〔符号〕的运算完成结论和推理，这些记号不经过非常精细的推敲或使用大量的点和线会把它们混淆起来，因而不得不作出无穷多个无用的试验；另一方面，这个方法会确切而简单地导向〔所需要的〕结果。我相信力学差不多可以象几何学一样用这种方法去处理。”（［３］，ｐ．１５１～１５２）
综合莱布尼茨零零碎碎的设想，他的宏伟规划大体旨在创造两种工具：其一是通用语言，其二是推理演算（calaulusratiocinator）。前者的主要使命是消除现存语言的局限性和不规则性，使新语言变成世界上人人会用的具有简明符号、合理规则的语言，规定符号的演变规则与运算规则，使逻辑演变依照一条明确的道路进行下去，进而解决所有可用语言表达的问题。 为此，莱布尼茨做了两方面的努力：一是寻找能够代表所有概念并可认作最根本的不可分析的符号；二是给出表述诸如断定、合取、析取、否定、全称、特殊、条件联结等形式概念的设计。关于第一方面，莱布尼茨首次设想用数目代表原初概念，而逻辑演算则用如同算术中的乘或除来代替。他认为用这种数字的不同方式排列组合，进行各种运算，就可产生无穷多的复合概念。这一思想后来改进为以素数代表基本概念，而复合词项即可借分解相应的数字成为它们的素数因子来加以分析。以“人是理智动物”为例，用素数“３”代表“动物”、“５”代表“理智”，则“人”即以“１５＝３．５”代表。为了更好地构设“通用语言”，莱布尼茨又以设想的“人类概念字母表”为语言词汇基础创制了一些逻辑符号，如“∪”（并）、“∩”（交）等，一直沿用下来。
关于第二方面，莱布尼茨的工作大致可以１６７９、１６８６、１６９０三个年代为标志划分为三个阶段。（［４］，ｐｐ．２７１～２７３）
第一阶段，莱布尼茨改进从数字代替概念以其演算，代之以对普通命题经验分析为基础的代数逻辑。他以全称肯定命题“ａ是ｂ”的形式开始，提出五条基本演算规则：（１）ａｂ是ｂａ（交换律）；（２）ａ是ａａ（重言律）；（３）ａ是ａ（同一原则）；（４）ａｂ是ａ或ａｂ是ｂ（化简原则）；（５）如ａ是ｂ且ｂ是ｃ，则ａ是ｃ（传递原则）。以此为据，他证明了同一和包含两个逻辑系词之间的重要关系，即，如ａ是ｂ且ｂ是ａ，则ａ与ｂ是同一的。进而，他又提出四个定理：（１）如ａ是ｂ且ａ是ｃ，则ａ是ｂｃ；（２）如ａ是ｂｃ，则ａ是ｂ且ａ是ｃ；（３）如ａ是ｂ，则ａｃ是ｂｃ；（４）如ａ是ｂ且ｃ是ｄ，则ａｃ是ｂｄ。由此可见，莱布尼茨在第一阶段的逻辑演算已相当完善和科学化，为逻辑的系统化打下了坚实的基础。
第二阶段，莱布尼茨用等式符号作系词符号，借公式Ａ＝ＢＹ表述全称肯定命题（Ｙ为一未确定的系数，用以修饰Ｂ而使Ｂ成为Ａ的一部分），同时提出双重否定之为肯定，即“非非
Ａ＝Ａ”，并由此演释出一系列定理。为了进一步发展演算，莱布尼茨还试图通过与属性组合的关系，用代数方法来描述四个直言命题，甚至对四个直言命题的表示法提出了九个方案。 第三个阶段，莱布尼茨最有价值的工作是罗列了十四个基本命题：（１）Ａ＝Ａ＋Ａ“＋”表示逻辑相乘，下同）；（２）如Ａ＝Ｂ且Ｂ＝Ｃ，则Ａ＝Ｃ；（３）如Ａ＝Ｂ且Ｂ≠Ｃ，则Ａ≠Ｃ；（４）如Ａ＝Ｂ，且Ｂ＜Ｃ，则Ａ＜Ｃ；（５）如Ａ＝Ｂ且Ｃ＜Ｂ，则Ｃ＜Ａ；（６）如Ａ＝Ｂ且Ｃ＝Ｄ；则Ａ＋Ｃ＝Ｂ＋Ｄ；（７）如Ａ＝Ｂ，则Ａ＋Ｃ＝Ｂ＋Ｃ；（８）Ａ＜Ｂ，则Ａ＋Ｃ＜Ｂ＋Ｃ；（９）如Ａ＋Ｂ＝Ａ，则Ｂ＜Ａ；（１０）如Ｂ＜Ａ，则Ａ＋Ｂ＝Ａ；（１１）如Ａ＜Ｂ且Ｂ＜Ｃ，则Ａ＜Ｃ；（１２）如Ａ＜Ｂ且Ｂ＜Ａ，则Ａ＝Ｂ；（１３）如Ａ＜Ｃ且Ｂ＜Ｃ，则Ａ＋Ｂ＜Ｃ；（１４）如Ａ＜Ｂ且Ｃ＜Ｄ，则Ａ＋Ｃ＜Ｂ＋Ｄ。为适应逻辑相除，他又引进逻辑相减运算，定义为：如Ｂ包含在Ａ中且Ｃ包括除去内容Ｂ之外的整个Ａ的内容，则Ａ－Ｂ＝Ｃ。如前例“人＝动物＋理智”即可推为“人－理智＝动物”。
上述符号构设显示，莱布尼茨的中心思想是致力于以符号表示普遍概念的“通用语言”和以代换法进行数学演算他自称的“通用数学”。就今天的眼光看来，他实际上已经发现了符号逻辑的若干重要原则和定理，触及到后由哈米尔顿所阐发的谓项量化问题，认识到在直言与假言命题之间的基本类比（即原因包含它的结果正如主项包含它的谓项），并且把握了逻辑相加的问题，甚至讨论过非三段论的关系推理。因此，莱布尼茨实际上已探察到后来为布尔和施罗德所发展的逻辑代数的整个基础。数理逻辑学家有没有看过莱氏的著作，知道不知道莱氏的计划，但所作的研究大体上都是沿着莱氏所期望的方向进行的。”（［５］，ｐ．１０）所以，整个数学界都一致公认他是数理逻辑的首创者和真正奠基人。
莱布尼茨的符号数学研究在生前没有公布，结果使数理逻辑的发展延迟了一个半世纪。（［４］，ｐ．１１９）可他关于微积分的成果却由于较早发表而惠泽数学界并引发一场争论持久的历史公案。
二、微积分： “理性的代数学”
１６８４年莱布尼茨在莱比锡的《教师学报》（Acta Eruditorum）上首次发表了题为《关于求极大、极小和切线的新方法，也能用于分数和无理量的情形及非寻常类型的有关计算》（简称《新方法》）的文章。这是他关于微分计算要点的代表作，全文只有六页。１６８６年莱布尼茨又在《教师学报》上发表了题为《论一种深邃的几何学和不可分元分析以及无穷》一文。这是他最早发表的以讨论积分学为主的文章，实际可看作《新方法》的续篇。 莱布尼茨把最初的微积分称为求差的方法与求和的方法。他的基本思想是把一条曲线下的面积分割成许多小矩形与曲线之间微小直角三角形的两边分别是曲线上相邻两点的纵坐标和横坐标之差。当这两无限减小时，曲线上相邻两点便无限接近。联结这样两点就得出曲线在该点的切线。这就是求差的方法。求差的反面就是求和。当曲线下面的矩形被分割得无限小时，矩形上面的那个三角形可以忽略不计，此时就用这些矩形之和代表曲线下的面积。 早在１６６６年，莱布尼茨就发现帕斯卡算术三角形与调合三角形之间存在着有趣的关系。（［６］，ｐｐ．２１６～２１７）在帕斯卡三角形中，任意一个元素既等于其上一行左边各项之和，又等于其下一行相邻两项之差；而在调合三角形中，任一元素均是其下一行右边各项之和，也是紧靠其上两项之差。
算术三角形 调合三角形
莱布尼茨在笔记中写出了各阶的差和微分：