第3章 弹性力学经典变分原理
3.1 弹性力学基础
3.1.1 变形分析
要研究物体变形首先要研究其位移如何来描述。在数学上，我们引进物质坐标和空间坐标的概念分别来描述物体上某一点的位置变动，具体说来，先取一Descartes 坐标系做参照系，变形前物体的构形为B，其每个质点的位置可用一组我们称之为物质坐标的坐标值来表示；变形后物体的构形变成B’，取另一个Descartes坐标系做参照系，我们称之为空间坐标系。如下图，变形前任一点Ｐ在物质坐标系中的坐标为(X1,X2,X3)，变形后P变化到Q点在空间坐标系中的坐标为(x1,x2,x3)。
图3.1物质坐标系和空间坐标系
矢量PQ表示了质点P的位移，记为u。为简单和方便起见，一般取两个参照系相重合，这时位移矢量u的分量ui可以用下式来表示
ui?xi?Xi,(i?1,2,3) (3.1.1)
其中变形后质点的坐标xi(i?1,2,3) 与变形前的坐标Xi(i?1,2,3)存在着确定的关系。我们可以把变形后质点的坐标看成是变形前质点物质坐标的函数，即
xi?xi(X1,X2,X3),(i?1,2,3) (3.1.2)
也可以用其逆变换 (数学上要求Jacobi 行列式不为零) 来表述，也就是从变形后空间坐标描述的质点，来追涉变形前这一质点的坐标
Xi?Xi(x1,x2,x3),ui?ui(X1,X2,X3),(i?1,2,3) (3.1.3) (i?1,2,3) (3.1.4)
如果把位移u看作是变形前坐标、即物质坐标的函数
称之为Lagrange 描述。如果把位移u看作是变形后坐标、即空间坐标的函数
ui?ui(x1,x2,x3),(i?1,2,3) (3.1.5)
称之为Euler 描述。
我们取变形前P点(X1,X2,X3)及相邻P’(X1?dX1,X2?dX2,X3?dX3)，它们之间的长度平方为
1
ds0??dXidXi (3.1.6)
2i?13它们变形后相应于Q点(x1,x2,x3)及相邻Q’(x1?dx1,x2?dx2,x3?dx3)，其长度平方为
ds??dxidxi (3.1.7)
2i?13根据变形前后的坐标关系有
?xdxi??idXj,j?1?Xj3dXi???Xidxj
j?1?xj3从而有
ds?ds0?22i,j?1?(?33?x??x???ij)dXidXj (3.1.8)
??1?Xi?Xj?X??X?)dxidxj (3.1.9)
??1?xi?xj33或者
ds?ds0?22i,j?1?(?ij??如果定义 及
3??X??X???ij???ij?? (3.1.11) ????x?x??1ij??12
?3?x??x??Eij?????ij? (3.1.10)
???1?X?X?ij??12则有
2ds2?ds0?2EijdXidXj (3.1.12) 2ds2?ds0?2?ijdxidxj (3.1.13)
上述表达式中，有重复下标的i,j，已省略了相应的求和记号
?,?i?1j?133，称为Einstein约定。
我们称E?Eij为Lagrange-Green 应变张量(用Lagrange坐标系来描述)，把???ij称作为Euler-Almansi 应变张量(用Euler坐标系来描述)。
如果我们在Lagrange坐标系中,沿着某一个特定的坐标方向取一个微分单元
dR1(dX1?0,dX2?dX3?0), 其变形前长度为
ds0?dX1
而变形后的长度为
ds?1?2E11ds0
因此，该微段变形前后的相对伸长量为
E1?ds?ds0?1?2E11?1 (3.1.14) ds0可见E11与线元的相对伸长有关。当E11??1时，E1?E11。
2
如果在Lagrange坐标系中沿坐标轴方向取两个相互垂直的微元，分别为
dR1?(dX1,0,0)和dR2?(0,dX2,0)，它们的长度分别为
ds01?dX1
ds02?dX2
那么在变形后它们长度ds1和ds2分别为
ds1?1?2E11dX1 (3.1.15) ds2?1?2E22dX2 (3.1.16)
变形后两个微段对应向量的内积为
cos?ds1ds2??E12?12?xk?xkdX1dX2?2E12dX1dX2
?X?Xk?1123?xk?xk (3.1.17)
?X1?X22E12dX1dX22E12? (3.1.18)
ds1ds21?2E111?2E22其中?为变形后两个微段之间的夹角。所以
cos??如果记变形前后两个微元之间夹角的变化（减少）为?，也就是说
???2?? (3.1.19)
那么
sin??cos??2E121?2E111?2E22 (3.1.20)
当E11??1，E22??1时，?可以表示为
??2E12,E12??/2 (3.1.21)
所以说，E12是与剪切变形有关的量。
如果用空间坐标系来描述变形，也就是说，位移矢量u的分量ui用变形后的坐标来描述
ui?xi?Xi?xi?Xi(x1,x2,x3),(i?1,2,3) Xi?xi?ui?xi?ui(x1,x2,x3),(i?1,2,3)
那么
3
3??X?X???ij???ij???????x?x??1ij??123???u???ij?????i??12???u??????j?? (3.1.22) ??????1??xi????xj?????1???ui?uj3?u??u??2???x?j?x???i??1?xi?xj??在小变形情况下，如果忽略高阶小量后，那么有
?1??ui?ujij?2????? ??u j?ui??我们称之为Cauchy微小应变。在工程上描述的应变为 ?x??u?x，??v?wy??y，?z??z
??vyz??z??w?y，??u?v?u?wxy??y??x，?zx??z??x 把他们写成矩阵的形式为
???x???000???T???y????x?z?y?????z??????0????yz?y0??z0????u??x??v?? ??????zx????0?????w???0??xy????z?y?x0???也就是
ε?ET(?)u 其中 u?[uvw]T
??[?x?y?Tz?yz?zx?xy]
???000???x?zE(?)=E(????x,??y,???z)??0??y0?z0???00????z?y?x式中?代表梯度算子
??i????x?j?y?k?z i,j,k代表x,y,z方向的单位向量。
4
(3.1.23) (3.1.24) (3.1.25)
???y?????x? ?0???
3.1.2 应力分析
p(x)q,gRF
图3.2物体受力
如图所示, 通常作用于物体的外力可以分为两种：一种是分布在物体表面的作用力，例如一个物体对另一物体作用的压力，象水压力等，我们称之为面力(surface traction)；另一种是分布在物体体积内部的力，象重力、磁力或运动物体的惯性力等，我们称之为体力(body force)。
TBSQ?SPN??Sp?
图3.3内力和应力
当一个物体处于平衡状态时， 假如我们设想从中分离出一部分B，其表面用S表示。S上任意一点Ｑ，其邻域?S面上作用的合力为?F，
压力
p?lim?F
?S?0?S?
剪应力 ?
截面上应力p,(???)与截面法向有关. 当取定坐标系统xoy后, 可以用每个坐标面上的
正应力
沿坐标轴的三个应力分量来表示应力状态。根据剪应力互等定律, 其中独立的分量有6个, 我们记为应力张量(满足坐标变换规律)
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