对于线弹性体，我们可以定义余能为
???1??2 (3.4.1)
?1????Vd?
??2????pTudB????[E(n)?]TudB
B1B1其中VT?1?a?是单位体积的弹性应变余能，其他各个表达式的含义见前面。 2最小余能原理: 在所有静力许可应力中，弹性力学的精确解使上述的余能最小。 证明:
假设u,?,?是精确解，那么它们满足所有微分方程和所有边界条件，再令?s是静力许可应力，他们满足平衡方程和力边界条件。记精确解和静力许可应力之差为
其中
????s?? (3.4.2)
那么对应静力许可应力的余能为
?(?s)????V(?s)d????(ps)TudB (3.4.3)
?B1ps?E(n)?s
由于
?s?????
其中应力增量??满足
E(?)???0,
在?上 (3.4.4) 在B2上
??B1E(n)???0,TTT?(?s)??(?)?12???(??)a(??)d?????(??)?d?????pudBTT??(?)?12???(??)a(??)d?????(E(?)??)ud???????pTudB????pTudBBB1TT??(?)?12???(??)a(??)d?????(E(?)??)ud???(3.4.5)
????pT(u?u)dBB1这里已用到??E(?)u。根据前面的恒等式和B1:u?u，
T?(?s)??(?)?12???(??)a(??)d?
?T (3.4.6)
因为a是对称正定矩阵，因此
?(?s)??(?) (3.4.7)
反过来讲, 使得总余能取到最小值的静力许可应力就是弹性力学的精确解。或者换个角度讲, 从最小余能原理中可以得到位移边界条件，当然前提条件是最小余能中的自变函数事
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先必须满足力的边界条件和区域内的平衡方程, 这使得最小余能的应用相对于最小势能原理来说要困难一点。
对于弹性力学的精确解，根据前面的恒等式
????0 (3.4.8)
也就是说
????
??(uk)???(u)??(?)??(?s) (3.4.9)
式（3.4.9）有重要的力学意义∶
当根据最小势能原理求近似解时，实质上是在一个可能位移的子集合上求最小值，这个子集合意味着给了可能位移额外的约束，也就是使得结构变刚了；反之，根据最小余能原理求近似解时，使得结构变柔了。准确解（位移或应力）总体上介于分别用最小势能原理和最小余能原理所求出的两个近似解之间。
例3.2 如例3.1。用最小余能原理推导其控制方程和边界条件。
如图3.7所示的坐标系, 假设轴向的应力为?(x), ?(x)的固定边界条件为
A(x)?(x)?F, x?L （a）
?(x)应该满足平衡方程
dA(x)?(x)?q(x)?0,dxV?12?u?u,Lx?(0,L) (b)
那么总应变余能为
L012?A(x)dx (c) Ex?0 (d)
位移的边界为
总的余能为
??
12?0E?A(x)dx?pxA(x)ux?0
L1?1?2A(x)dx??A(x)ux?02?0E12 (e)
由式(a) 、(b) 可得
A(x)??(x)?0,x?L
d[A(x)??(x)]?0,dx根据最小余能原理
x?(0,L)
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????
1?A(x)??dx?A(x)u??x?00ELdu??A(x)??dx?A(x)u??x?00dxLd???u[A(x)??]dx?A(x)u??0dx??A(0)(u(0)?u)??x?0LL0?A(x)u??x?0
?0由于??x?0?的任意性, 所以有
u?u(0)? 0这就是位移的边界条件。
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