其中E1,E2,E3是三个常数矩阵。
?100000??000001??000010??,E??010000?,E??000100?E1??000001??2??3??
????000010???000100???001000??{E(?)?}Tu?[(E1????E2?E3)?]Tu?x?y?z??????T?[E1?E2?E3]u?x?y?z那么
??TT??TT??TT ?E1u?E2u?E3u?x?y?z???TT?(?TE1Tu)?(?TE2u)?(?TE3u)?x?y?z???TT??T[(E1Tu)?(E2u)?(E3u)]?x?y?z???TT?TE1Tu????TE2u????TE3u? ??x?y?z也就是说
[E(?)?]Tu??TET(?)u?那么根据高斯公式
TTT{?E(?)u?[E(?)?]u}d?????????{????TTTTT?Eu??Eu??TE3u?}d?????12??x?y?z
TT???{nx(?TE1Tu)?ny(?TE2u)?nz(?TE3u)}dBBTT????T(nxE1T?nyE2?nzE3)udBB???[E(n)?]TudBB也就是说
几点说明: (1) 虚功原理
如果取u??u、即虚位移，???为静力可能应力，E(?)u为虚位移对应的虚应变, 上式就是虚功原理
sTTT(?)??d??p?udB?f?????????ud? (3.2.2) ?B?sTTTTT?E(?)ud??[E(n)?]udB?[E(?)?]ud? ?????????B?其中??为虚位移所对应的虚应变。
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(2) 功的互等定理
如果有两组载荷作用在线弹性体上。取第一组载荷(f,p)作用下的位移精确解为u，对应的应变为?，应力为?；取第二组载荷(f,p)作用下的位移精确解为u，对应的应变为?2，应力为?2，那么根据上述恒等式有
11221112???(?
?1T)?2d????[E(n)?1]Tu2dB????[?[E(?)?1]Tu2d?B????(??2T)?d????[E(n)?]udB????[?[E(?)?]ud?B?12T12T1
由于
???(??1T)?2d?????(?1)TA?2d?????(?2)T?1d?
??所以有
1T21T22T12T1[p]udB?[f]ud??[p]udB?[f??????????]ud? (3.2.3) B?B?这就是功的互等定理。 (3) 能量守恒
若取u为位移精确解，那么??E(?)u是真实应变, f??E(?)??为应力精确解，是真实体力, p?E(n)?是真实的表面力。下列恒等式表示能量守恒
TTT??d??pudB?f????????ud? (3.2.4) ?B?T即外力在位移上所做的功等于应力在应变上所做的功。
3.3 最小势能原理
对于线弹性体，那么我们可以定义下面总势能表达式
???1??2 (3.3.1)
?1????Ud?, ?2??(???fTud????pTudB)
??B2其中?1为弹性应变能，而?2为外力势能。U(?)?就是应变能密度），其他各个表达式的含义见前面。
1T?A?是单位体积的弹性应变能（也2最小势能原理: 在所有的几何可能位移中，弹性力学的精确解应使上述的总势能最小。 证明:
假设u,?,?是精确解，那么它们满足所有微分方程和所有边界条件， (1) 几何关系 (2) 平衡方程 (3) 本构关系 (4) 边界条件
??ET(?)u，
E(?)??f?0，
?内 ?内 ?内
B2上
??A?或者??a?，
E(n)??p，
u=u，
B1上
再令uk,?k是几何可能位移和对应的可能应变，他们应该满足几何方程和位移的边界条件，
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(1) 几何关系 (2) 边界条件
?k?ET(?)uk，
uk?u，
?内
B1上
记精确解和几何可能位移之差为 由于
那么
uk?u??u
k ?u?u ?u那么对应于几何可能位移的总势能表达式为
?(u)?kkTkTkUu()?d?fu?d?puB d (3.3.2) ??????????B2?k?????，???ET(?)?u (3.3.3)
因为
1 U(u)?12?A?,U(u)?2(?)A?,
TkkTk从而有
1 U(u)?12?A???A(??)?2(??)A(??) (3.3.4)
kTTT那么
TTT?(uk)??(u)?????TA??d?????12(??)A??d?????f(?u)d????p(?u)dB???B2??(u)????(??)A??d?????[????f(?u)]d????p(?u)dB12??B2TTTT
如果在恒等式(3.2.1)中取u??u，?取为真实应力?,那么
TTTT?E(?)?ud??[E(n)?]?udB?[?[E(?)?]?ud? ?????????B?由于
E(?)??f?0，在?内
?u?0，在B1上
E(n)??p，在B2上
所以 即
T?(uk)??(u)????12(??)A??d?
?
TTT???d??p?udB?f?????????ud? (3.3.5) ?B2?因为A是对称正定矩阵，因此
?(uk)??(u) (3.3.6)
也就是说, 弹性力学的精确解使得总势能泛函为最小值。
对于非线性弹性体来说，最小势能原理也成立∶
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????????U??d?????fT?ud????pT?udB???B2?B2?????TET(?)?ud?????fT?ud????pT?udB?
???(E(n)?)T?udB???pT?udB????(E(?)??f)T?ud? (3.3.7)
BB2????(E(n)??p)T?udB????(E(?)??f)T?ud?B2??0可得
E(?)??f?0，在?内 E(n)??p，在B2上
此外
?2U??d? （3.3.8） ???????? 2???2T这里
??2U?2U?????2??????xxy??x?2U?????????2?2???2?U???U??2????????xyxxy??由热力学第一定律可得
6?6?2U?0 （3.3.9） 2??从而???0，即最小势能原理成立。
现在讨论何时???0。由（3.3.8）和（3.3.9）可知，其充分必要条件为
在?内 （3.3.10） ???0，
这意味着在整个?内是零应变状态，而这个状态是当且仅当物体的位移函数为刚体位移才
能出现。由于我们考虑的是静力学问题，所以，所有刚体位移已消除，从而
22?2??0??u?0 （3.3.11）
这意味着
最小势能原理: 在所有的几何可能位移中，弹性力学的精确解应使上述的总势能取严格最小。
例3.1: 如图所示, 变截面杆的长度为L, 横截面面积为A(x), 材料的杨氏模量为E；沿轴向作用有分布载荷q(x), 其中一边固定,一边受轴向集中力F作用。用最小势能原理推导其方程和边界条件。
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图3.7变截面杆
如图所示的坐标系, 假设轴向的位移为u(x), u(x)的固定边界条件为
u(0)?0
那么轴向的应变为
?(x)?du(x) dxL对应的总应变能为
2U?1EA(x)?dx 2?0总的势能为
??
12?L0LEA(x)?dx??q(x)u(x)dx?Fu(L)0L?du(x)?E?A(x)dx?q(x)u(x)dx?Fu(L)??0?dx?22L
?根据最小势能原理
12?0L?du(x)??du(x)?????E?????A(x)dx??0q(x)?u(x)dx?F?u(L)0?dx??dx?Ld?du(x)?du(x)??L?E??u(x)A(x)?EA(x)0????u(x)dx?0dx?dx?dx??L??q(x)?u(x)dx?F?u(L)0L
L?d?du(x)???EA(x)?q(x)?u(x)dxx?L????0???dx?dx???du(x)????E?A(x)?F?u(x)????dx???0由变分引理得到
d?du(x)?EA(x)??q(x)?0,x?(0,L) ?dx?dx??du(x)?E??A(x)?F?0,x?L ?dx?这就是用位移表示的杆的控制方程和自由边界条件(边界上力的平衡条件) 。
3.4 最小余能原理
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