??x?xy?xz????ij???yx?y?yz?, ?xy??yx,?xz??zx,?yz??zy (3.1.26)
??zx?zy?z???应力的符号规则: 外法线方向与坐标轴方向一致的截面上, 沿坐标轴正方向的应力为正, 沿坐标轴负方向的应力为负；反之, 外法线方向与坐标轴方向相反的截面上, 沿坐标轴正方向的应力为负, 沿坐标轴负方向的应力为正.
z?zxz?zz?zypzN=(m,n,l)pNppy?xz?xx?xy?yx?yz?yyypxpTyxx
图3.4应力张量与截面上应力
3.1.3 截面上应力
在某一个方向n?(nx,ny,nz)的截面上，根据力的平衡关系，截面上应力p沿三个坐标轴上的应力分量为
3Tpi???ijnj,j?1i?1,2,3
也就是说
px??xnx??xyny??xznz
py??yxnx??yny??yznz pz??zxnx??zyny??znz
写成矩阵形式为
?px??nx????py???0?p??0?z??0ny000nz0nznynz0nx??x????yny?????z????nx??? (3.1.27)
??yz?0?????zx?????xy??也就是说
式中
p?E(n)? (3.1.28) p???pxpypz??
6
T
??[?x?y?z?yz?zx?xy]T
E(n)就是将E(?)中的梯度矢量替换成截面的法向单位矢量n，即
?nx?E(n)??0?0?
3.1.4 平衡方程
0ny000nz0nznynz0nxny??nx? (3.1.29) 0??应力分量在物体内部的平衡方程为
??j?13ij,j?fi?0,i?1,2,3 (3.1.30)
写成分量的形式为
??x??xy??zx???fx?0 ?x?y?z??xy?x???y?y???yz?z?fy?0
??zx??yz??z???fz?0 ?x?y?z其中fx,fy,fz分别是体积力在x,y,z轴上的分量。如果把平衡方程表示成矩阵的形式为
????x???0???0?也就是
0??y000??z0??z??y??z0??x????x?????y???y??fx?????????z???????fy??0 ?x??yz???f???zx??z?0???????xy??E(?)??f?0 (3.1.31) f???fxfyfz??
T式中
3.1.5 应变能、余应变能及应力与应变关系
物体发生弹性变形时，外力所做的功等于物体中所储存的应变能。而这种应变能与物体的变形过程无关，只同物体的最终变形状态有关，也就是说只与最终的应变有关。
我们在物体中隔离出一个微元dxdydz。该微元上的应变分量为?x,?y,?z,?yz,?zx,?xy，作用微元表面上的应力分量为?x,?y,?z,?yz,?zx,?xy。记物体的应变能密度为U(也就是单位体积的应变能)，那么储存在该微元上的应变能为Udxdydz。根据前面的说明，应变能密度U应该是应变分量?x,?y,?z,?yz,?zx,?xy的函数。如果此时微元的应变有一个微小变化
7
??x,??y,??z,??yz,??zx,??xy，相应的应变能密度也有了一个微小的变化?U，根据能量守
衡，有
?U??x??x??y??y??z??z??yz??yz??zx??zx??xy??xy
从中我们可以得到
?x??yz??U?U?U，?y?，?z?
??y??x??z?U?U?U，?zx?，?xy? ??yz??xy??zx写成矩阵的形式为
?U??T?? (3.1.32) ?T??U ??用积分形式表示为
U???Tdε??{?xd?x??yd?y??zd?z??yzd?yz??zxd?zx??xyd?xy}
通过下式定义的是余应变能密度V
V??x?x??y?y??z?z??yz?yz??zx?zx??xy?xy?U (3.1.33) U?V??x?x??y?y??z?z??yz?yz??zx?zx??xy?xy (3.1.34)
也就是说
写成矩阵的形式有
V??T??U (3.1.35) V???Td????xd?x??yd?y??zd?z??yzd?yz??zxd?zx??xyd?xy
用积分形式表示为
利用应力与应变之间的关系，可以把上式右边表示成应力的形式，也就是说把V表示成应力分量?x,?y,?z,?yz,?zx,?xy的函数。对上式取变分，有
?V???T???T????U???T???T?? (3.1.36) ?T??V (3.1.37) ??因此有
图3.5应变能和余应变能密度
8
上面这些关系对于线弹性变形和非线性弹性变形都是适用的。对于非线性的弹性变形，
U和V不仅在数学形式上不一样，而且在数值也不相等。对于线弹性变形，应力和应变之间关系是线性的，应变能密度U和应变余能密度V数值上相等
TU?V?12?? (3.1.38)
如果应力和应变之间的关系表示为
??A? ??a?
TU?12?A? (3.1.39) TV?1?a? (3.1.40) 2那么U和V可以表示成
由于能量的正定性, A和a都必须是对称正定的六阶矩阵, 而且它们之间互为逆矩阵，也就是说
Aa?I
这里I是六阶单位矩阵。
3. 1.6边界条件
在弹性力学的定解问题中，除了必要的微分方程外，还需要给定合适的条件。这种边界条件是多种多样的，我们这里只讨论两种典型的情况，即给定位移的位移边界和给定面力的应力边界。记B为物体的总边界，我们可以把总边界分成两部分B=B1+B2。其中B1上有位移边界条件
u=u (3.1.41)
E(n)?=p (3.1.42) u?[u p???pxB2上有应力边界条件
其中
vw]T pypz??
T分别是边界B1上给定的位移向量和B2上给定的单位面积上外力向量。
图3.6边界条件
3.1.7 几何可能位移和静力可能应力 几何可能位移:
9
在位移边界B1上满足位移边界条件u=u，且在整个区域内满足连续条件(可以得到相应的应变)的位移称为几何可能位移，一般用u来表示。 静力可能应力:
在应力边界B2上满足应力边界条件E(n)?=p，且在整个区域内满足应力平衡条件
kE(?)?+f=0的一组应力称为静力可能应力，一般用?s来表示。
3.1.8 弹性力学精确解
弹性力学的精确解u,???应满足下列微分方程和边界条件 (1) 几何关系 (2) 平衡方程 (3) 本构关系 (4) 边界条件
??ET(?)u，
E(?)??f?0，
?内 ?内
?T??U?VT或者??， ?内 ????
E(n)?=p，
B2上
u=u，
B1上
3.2 一个重要的恒等式
对于三维空间上任意一个连通区域?，始终成立下面的恒等关系
TTTT?E(?)ud??[E(n)?]udB?[E(?)?]ud? (3.2.1) ?????????B?T其中B是区域?的边界，n?(nx,ny,nz)是边界B上的外法线方向，u?R两组任意独立的函数，式中
3和??R6是
????x??E(?)??0???0?0??y000??z0??z??y??z0??x???y????? ?x??0??
?nx?E(n)??0?0?0ny000nz30nznynz0nxny??nx? 0??3写成分量的形式为 证明:
??????i,j?13iji,jud??????ijnjuidB???????ij,juid?
Bi,j?1?i,j?1E(?)?E1????E2?E3 ?x?y?zE(n)?E1nx?E2ny?E3nz
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