中考压轴题精选典型例题讲解
二次函数-定值问题
【例1】如图，直线y=kx+b（b＞0）与抛物线
相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与x轴正半
轴相交于点D，与y轴相交于点C，设△OCD的面积为S，且kS+32=0． （1）求b的值；
（2）求证：点（y1，y2）在反比例函数（3）求证：x1?OB+y2?OA=0．
的图象上；
考点： 二次函数综合题 专题： 压轴题． 分析： （1）先求出直线y=kx+b与x轴正半轴交点D的坐标及与y轴交点C的坐标，得到△OCD的面积S=﹣，再根据kS+32=0，及b＞0即可求出b的值； ，再将x=代入y=x，整理得y﹣（16+8k）y+64=0，然后由2222（2）先由y=kx+8，得x=已知条件直线y=kx+8与抛物线2相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，知y1，y2是方程y﹣（16+8k）y+64=0的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系得到y1?y2=64，即点（y1，y2）在反比例函数的图象上； 2（3）先由勾股定理，得出OA=2+2，OB=22+，AB=（x1﹣x2）+（y1﹣y2），由（2）得y1?222y2=64，又易得x1?x2=﹣64，则OA+OB=AB，根据勾股定理的逆定理得出∠AOB=90°．再过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，根据两角对应相等的两三角形相似证明△AEO∽△OFB，由相似三角形对应边成比例得到=，即可证明x1?OB+y2?OA=0． 第 1 页 共 1 页
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解答： （1）解：∵直线y=kx+b（b＞0）与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C， ∴令x=0，得y=b；令y=0，x=﹣， ∴△OCD的面积S=（﹣）?b=﹣∵kS+32=0， ∴k（﹣）+32=0， ． 解得b=±8， ∵b＞0， ∴b=8； （2）证明：由（1）知，直线的解析式为y=kx+8，即x=将x=代入y=x，得y=（222， ）， 2整理，得y﹣（16+8k）y+64=0． ∵直线y=kx+8与抛物线22相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点， ∴y1，y2是方程y﹣（16+8k）y+64=0的两个根， ∴y1?y2=64， ∴点（y1，y2）在反比例函数 （3）证明：由勾股定理，得 OA=2的图象上； +，OB=2+，AB=（x1﹣x2）+（y1﹣y2）， 222由（2）得y1?y2=64， 同理，将y=kx+8代入y=x， 得kx+8=x，即x﹣8kx﹣64=0， ∴x1?x2=﹣64， ∴AB=22222+2++++﹣2x1?x2﹣2y1?y2=+， +++， 又∵OA+OB= 第 2 页 共 2 页
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∴OA+OB=AB， ∴△OAB是直角三角形，∠AOB=90°． 如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F． ∵∠AOB=90°， ∴∠AOE=90°﹣∠BOF=∠OBF， 又∵∠AEO=∠OFB=90°， ∴△AEO∽△OFB， ∴=， 222∵OE=﹣x1，BF=y2， ∴=， ∴x1?OB+y2?OA=0． 点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数与二次函数的交点，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中．求出△OCD的面积S是解第（1）问的关键；根据函数与方程的关系，得到y1，y2是方程y﹣（16+8k）y+64=0的两个根，进而得出y1?y2=64是解第（2）问的关键；根据函数与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理及其逆定理得出∠AOB=90°，是解第（3）问的关键．
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【例2】如图①，在平面直角坐标系中，点P（0，m）（m＞0）在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：y=x于点A、B，交抛物线C2：y=x于点C、D．原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC和QD． 【猜想与证明】 填表： m 1 2 3 =
．请证明你的猜想．
2
2
2
由上表猜想：对任意m（m＞0）均有【探究与应用】
（1）利用上面的结论，可得△AOB与△CQD面积比为 ；
（2）当△AOB和△CQD中有一个是等腰直角三角形时，求△CQD与△AOB面积之差； 【联想与拓展】
如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F．在y轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则△MAE与△MDF面积的比值为
．
考点： 二次函数综合题 分析： 猜想与证明： 把P点的纵坐标分别代入C1、C2的解析式就可以AB、CD的值，就可以求出结论，从而发现规律得出对任意m（m＞0）将y=m2代入两个二次函数的解析式就可以分别表示出AB与CD的值，从而得出均有=； 第 4 页 共 4 页
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探究与证明： （1）由条件可以得出△AOB与△CQD高相等，就可以得出面积之比等于底之比而得出结论； （2）分两种情况讨论，当△AOB为等腰直角三角形时，可以求出m的值就可以求出△AOB的面积，从而求出△CQD的面积，就可以求出其差，当△CQD为等腰直角三角形时，可以求出m的值就可以求出△CDQ的面积，进而可以求出结论； 联想与拓展： 由猜想与证明可以得知A、D的坐标，可以求出F、E的纵坐标，从而可以求出AE、DF的值，由三角形的面积公式分别表示出△MAE与△MDF面积，就可以求出其比值． 解答： 解：猜想与证明： 当m=1时，1=x，1=x， ∴x=±2，x=±3， ∴AB=4，CD=6， ∴； 2222当m=2时，4=x，4=x， ∴x=±4，x=±6， ∴AB=8，CD=12， ∴； 22当m=3时，9=x，9=x， ∴x=±6，x=±9， ∴AB=12，CD=18， ∴； ∴填表为 m 1 2 3 对任意m（m＞0）均有=． 第 5 页 共 5 页