中考压轴题精选典型例题讲解
理由：将y=m（m＞0）代入y=x，得x=±2m， ∴A（﹣2m，m），B（2m，m）， ∴AB=4m． 将y=m（m＞0）代入y=x，得x=±3m， ∴C（﹣3m，m），D（3m，m）， ∴CD=6m． ∴， =； 22222222∴对任意m（m＞0）均有 探究与运用： （1）∵O、Q关于直线CD对称， ∴PQ=OP． ∵CD∥x轴， ∴∠DPQ=∠DPO=90°． ∴△AOB与△CQD的高相等． ∵=， ∴AB=CD． ∵S△AOB=AB?PO，S△CQD=CD?PQ， ∴=， （2）当△AOB为等腰直角三角形时，如图3， ∴PO=PB=m，AB=2OP ∴m=m， ∴4m=m， ∴m1=0，m2=﹣2，m3=2． ∵m＞0， 24242 第 6 页 共 6 页
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∴m=2， ∴OP=4，AB=8， ∴PD=6，CD=12． ∴S△AOB=∴S△CQD==16 =24， ∴S△CQD﹣S△AOB=24﹣16=8． 当△CQD是等腰直角三角形时，如图4， ∴PQ=PO=PD=m，CD=2QP ∴m=m， ∴9m=m， ∴m1=0，m2=﹣3，m3=3． ∵m＞0， ∴m=3， ∴OP=6，AB=12， ∴PQ=9，CD=18． ∴S△AOB=∴S△CQD==54 =81， 24242∴S△CQD﹣S△AOB=81﹣54=27； 联想与拓展 由猜想与证明可以得知A（﹣2m，m），D（3m，m）， ∵AE∥y轴，DF∥y轴， ∴E点的横坐标为﹣2m，F点的横坐标为3m， ∴y=（﹣2m），y=（3m）， ∴y=m，y=m， ∴E（﹣2m，m），F（3m，m）， 22222222 第 7 页 共 7 页
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∴AE=m﹣m2=m，DF=m﹣m=m． S△AEM=3m?2m=m， S△DFM=m?3m=22322222m． 3∴=． 故答案为：；；． 点评： 本题考出了对称轴为y轴的抛物线的性质的运用，由特殊到一般的数学思想的运用，等腰直角三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，轴对称的性质的运用，在解答本题时运用两个抛物线上的点的特征不变建立方程求解是关键．
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【例3】已知抛物线C1的顶点为P（1，0），且过点（0，）．将抛物线C1向下平移h个单位（h＞0）得到抛物线C2．一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m（m＞0）．[来 （1）求抛物线C1的解析式的一般形式； （2）当m=2时，求h的值；
（3）若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点F．求证：tan∠EDF﹣tan∠ECP=．
2
考点： 二次函数综合题． 专题： 代数几何综合题． 2分析： （1）设抛物线C1的顶点式形式y=a（x﹣1），（a≠0），然后把点（0，）代入求出a的值，再化为一般形式即可； （2）先根据m的值求出直线AB与x轴的距离，从而得到点B、C的纵坐标，然后利用抛物线解析式求出点C的横坐标，再根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同求出点A的坐标，然后根据平移的性质设出抛物线C2的解析式，再把点A的坐标代入求出h的值即可； （3）先把直线AB与x轴的距离是m代入抛物线C1的解析式求出C的坐标，从而求出CE，再表示出点A的坐标，根据抛物线的对称性表示出ED，根据平移的性质设出抛物线C2的解析式，把点A的坐标代入求出h的值，然后表示出EF，最后根据锐角的正切值等于对边比邻边列式整理即可得证． 解答： （1）解：设抛物线C1的顶点式形式y=a（x﹣1），（a≠0）， 22 第 9 页 共 9 页
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∵抛物线过点（0，）， ∴a（0﹣1）=， 解得a=， ∴抛物线C1的解析式为y=（x﹣1）， 一般形式为y=x﹣x+； （2）解：当m=2时，m=4， ∵BC∥x轴， ∴点B、C的纵坐标为4， ∴（x﹣1）=4， 解得x1=5，x2=﹣3， ∴点B（﹣3，4），C（5，4）， ∵点A、C关于y轴对称， ∴点A的坐标为（﹣5，4）， 设抛物线C2的解析式为y=（x﹣1）﹣h， 则（﹣5﹣1）﹣h=4， 解得h=5； （3）证明：∵直线AB与x轴的距离是m， ∴点B、C的纵坐标为m， ∴（x﹣1）=m， 解得x1=1+2m，x2=1﹣2m， ∴点C的坐标为（1+2m，m）， 又∵抛物线C1的对称轴为直线x=1， ∴CE=1+2m﹣1=2m， ∵点A、C关于y轴对称， 222222222222 第 10 页 共 10 页