中考压轴题精选典型例题讲解
∴点A的坐标为（﹣1﹣2m，m）， ∴AE=ED=1﹣（﹣1﹣2m）=2+2m， 设抛物线C2的解析式为y=（x﹣1）﹣h， 则（﹣1﹣2m﹣1）﹣h=m， 解得h=2m+1， ∴EF=h+m=m+2m+1， ∴tan∠EDF﹣tan∠ECP=﹣=﹣=﹣=， 222222∴tan∠EDF﹣tan∠ECP=． 点评： 本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与结合变换，关于y轴对称的点的坐标特征，抛物线上点的坐标特征，锐角的正切的定义，（3）用m表示出相应的线段是解题的关键，也是本题的难点．
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【例4】如图，抛物线y=ax+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N． （1）求此抛物线的解析式； （2）求证：AO=AM； （3）探究：
①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时②试说明无论k取何值，
的值；
2
的值都等于同一个常数．
考点： 二次函数综合题．3718684 专题： 代数几何综合题． 分析： （1）把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c，即可得解； （2）根据抛物线解析式设出点A的坐标，然后求出AO、AM的长，即可得证； （3）①k=0时，求出AM、BN的长，然后代入22+计算即可得解； +，再联立抛物线与直线解析式，消22②设点A（x1，x1﹣1），B（x2，x2﹣1），然后表示出掉未知数y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1?2，并求出x1+x2，x1?x2，然后代入进行计算即可得解． 解答： （1）解：∵抛物线y=ax+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）， ∴， 222解得， 第 12 页 共 12 页
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所以，抛物线的解析式为y=x﹣1； （2）证明：设点A的坐标为（m，m﹣1）， 22则AO==m+1， 2∵直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴， ∴点M的纵坐标为﹣2， ∴AM=m﹣1﹣（﹣2）=m+1， ∴AO=AM； （3）解：①k=0时，直线y=kx与x轴重合，点A、B在x轴上， ∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2， ∴ ②k取任何值时，设点A（x1，x1﹣1），B（x2，x2﹣1）， 2222+=+=1； 则+=+==， 联立2， 消掉y得，x﹣4kx﹣4=0， 由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1?x2=﹣4， 所以，x1+x2=（x1+x2）﹣2x1?x2=16k+8， x1?x2=16， ∴+===1， 222222∴无论k取何值，+的值都等于同一个常数1． 点评： 本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理以及点到直线的距
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离，根与系数的关系，根据抛物线上点的坐标特征设出点A、B的坐标，然后用含有k的式子表示出
+是解题的关键，也是本题的难点，计算量较大，要认真仔细． 第 14 页 共 14 页
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【例5】. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点Ａ的坐标为（10，0），顶点B在第一象限内，且AB=35，sin∠OAB=
5. 5（1）若点C是点B关于x轴的对称点，求经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式；
（2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若将点O、点A分别变换为点Q（ -2k ,0）、点R（5k，0）（k>1的常数），设过Q、R两点，且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N，其顶点为M，记△QNM的面积为S?QMN，△QNR的面积
S?QNR，求S?QMN∶S?QNR的值.
解：（1）如图，过点B作BD?OA于点D． 在Rt△ABD中，
AB?35，sin?OAB?5， 55?3． 5y P2 B E O P3 x ?BD?ABsin?OAB?35?又由勾股定理， 得AD?D AF C P1 AB?BD?(35)2?32?6．
22?OD?OA?AD?10?6?4．
点B在第一象限内，
3)． ?点B的坐标为(4， 第 15 页 共 15 页