（一） 映射与函数 1. 映射与一一映射
2.函数
函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. 3.反函数
反函数的定义
设函数
y?f(x)(x?A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表
示出，得到x=?(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x=?(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=?(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=?(y) (y?C)叫做函数
y?f(x)(x?A)的反函数，记作x?f?1(y),习惯上改写成
y?f?1(x)
（二）函数的性质 ⒈函数的单调性
定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2, ?若当x1
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 2.函数的奇偶性
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正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题：（1）定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件；（2）f(?x)?f(x)或f(?x)??f(x)是定义域上的恒等式。 2．奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。反之亦真，因此，也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。 3.奇函数在对称区间同增同减；偶函数在对称区间增减性相反. 4．如果f(x)是偶函数，则f(x)?f(|x|)，反之亦成立。若奇函数在x?0时有意义，则f(0)?0。
7. 奇函数，偶函数： ?偶函数：f(?x)?f(x)
设（a,b）为偶函数上一点，则（?a,b）也是图象上一点. 偶函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于y轴对称，例如：y?x2?1在[1,?1)上不是偶函数. ②满足f(?x)?f(x)，或f(?x)?f(x)?0，若f(x)?0时，?奇函数：f(?x)??f(x)
设（a,b）为奇函数上一点，则（?a,?b）也是图象上一点. 奇函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于原点对称，例如：y?x3在[1,?1)上不是奇函数. ②满足f(?x)??f(x)，或f(?x)?f(x)?0，若f(x)?0时，
y轴对称8. 对称变换：①y = f（x）?? ???y?f（?x）f(x)?1. f(?x)f(x)??1. f(?x)x轴对称②y =f（x）?? ???y??f（x）③y =f（x）?原点对称 ????y??f（?x）9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：
(x1?x2) f(x)?f(x)?x2?b2?x2?b2?（x1?x2）121222 xx?b2?x1?b2在进行讨论.
10. 外层函数的定义域是内层函数的值域. 例如：已知函数f（x）= 1+
x的定义域为A，函数f[f（x）]的定义域是B，则集合A与1?xB?A集合B之间的关系是 .
解：f(x)的值域是f(f(x))的定义域B，f(x)的值域?R，故B?R，而A??x|x?1?，故B?A.
11. 常用变换：
①f(x?y)?f(x)f(y)?f(x?y)?f(x). f(y) 第 7 页 共 75 页
证：f(x?y)?xyf(y)?f(x)?f[(x?y)?y]?f(x?y)f(y) f(x)②f()?f(x)?f(y)?f(x?y)?f(x)?f(y) 证：f(x)?f(?y)?f()?f(y) 12. ?熟悉常用函数图象：
?1?例：y?2→|x|关于y轴对称. y????2?|x|▲▲xyxy|x?2|?1??1?→y???→y????2??2?▲|x||x?2|
yyy(0,1)x(-2,1)xx
y?|2x?2x?1|→|y|关于x轴对称.
2
▲ y
?熟悉分式图象：
2x?17例：y? ?定义域{x|x?3,x?R}，?2?x?3x?3值域{y|y?2,y?R}→值域?x前的系数之比. （三）指数函数与对数函数
指数函数 图 象 x▲y2x3y?ax(a?0且a?1)的图象和性质
01 43.53.5332.52.5221.51.51y=110.5y=10.5-4-3-2-11234-4-3-2-11234-0.5-0.5-1-1 性 质 (1)定义域：R （2）值域：（0，+∞） （3）过定点（0，1），即x=0时，y=1 (4)x>0时，y>1;x<0时，0
a>1 对数函数y=logax的图象和性质: 对数运算：
0
logbN换底公式：logaN?logba推论：logab?logbc?logca?1?loga1a2?loga2a3?...?logan?1an?loga1an（以上M?0,N?0,a
?0,a?1,b?0,b?1,c?0,c?1,a1,a2...an?0且?1）
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yy=logaxa>1图 象 Oxx=1a<1 （1）定义域：（0，+∞） （2）值域：R （3）过点（1，0），即当x=1时，y=0 性 质 （4）x?(0,1)时 y?0 x?(0,1)时 y?0 x?(1,??)时 y>0 （5）在（0，+∞）上是增函数
x?(1,??)时y?0 在（0，+∞）上是减函数 注?：当a,b?0时，log(a?b)?log(?a)?log(?b).
?：当M?0时，取“+”，当n是偶数时且M?0时，Mn?0，而M?0，故取“—”.
2例如：logax?2logax?(2logax中x＞0而logax2中x∈R）.
?y?ax（a?0,a?1）与y?logax互为反函数.
当a?1时，y?logax的a值越大，越靠近x轴；当0?a?1时，则相反.
（四）方法总结
?.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同. ?对数运算：
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