高中数学第六章-不等式
考试内容：
不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求：
（1）理解不等式的性质及其证明．
（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．
（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法．
（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│
§06. 不 等 式 知识要点
1. 不等式的基本概念
（1） 不等（等）号的定义：a?b?0?a?b;a?b?0?a?b;a?b?0?a?b. （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式.
（4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质
（1）a?b?b?a（对称性）
（2）a?b,b?c?a?c（传递性）
（3）a?b?a?c?b?c（加法单调性）
（4）a?b,c?d?a?c?b?d（同向不等式相加） （5）a?b,c?d?a?c?b?d（异向不等式相减） （6）a.?b,c?0?ac?bc
（7）a?b,c?0?ac?bc（乘法单调性）
（8）a?b?0,c?d?0?ac?bd（同向不等式相乘）
(9)a?b?0,0?c?d?ab?cd（异向不等式相除）
(10)a?b,ab?0?11（倒数关系） ?ab（11）a?b?0?an?bn(n?Z,且n?1)（平方法则） （12）a?b?0?na?nb(n?Z,且n?1)（开方法则）
3.几个重要不等式
（1）若a?R,则|a|?0,a2?0
（2）若a、b?R?,则a2?b2?2ab(或a2?b2?2|ab|?2ab)（当仅当a=b时取等号） （3）如果a,b都是正数，那么 ab?a?b.（当仅当a=b时取等号）
2极值定理：若x,y?R?,x?y?S,xy?P,则： 1如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小； ○
2如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大. ○
利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.
(4)若a、b、c?R?,则a?b?c3?abc（当仅当a=b=c时取等号） 3 第 31 页 共 75 页
ba(5)若ab?0,则??2（当仅当a=b时取等号）
ab(6)a?0时，|x|?a?x2?a2?x??a或x?a;|x|?a?x2?a2??a?x?a
（7）若a、b?R,则||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b| 4.几个著名不等式
（1）平均不等式： 如果a,b都是正数，那么
211?ab?ab?a?ba2?b2（当仅当
?.22a=b时
取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：
2222a?ba?ba?ba?b22特别地，ab?(（当a = b时，()?)??ab）
2222a2?b2?c2?a??b?c????(a,b,c?R,a?b?c时取等) 33??22?...?an??幂平均不等式：a12?a221(a1?a2?...?an)2 n注：例如：(ac?bd)2?(a2?b2)(c2?d2).
1111111常用不等式的放缩法：①???2???(n?2) nn?1n(n?1)nn(n?1)n?1n②n?1?n?1n?n?1?12n?1n?n?1?n?n?1(n?1)
（2）柯西不等式： 若a1,a2,a3,?,an?R,b1,b2,b3?,bn?R;则（a1b1?a2b2?a3b3???anbn)?aaaa当且仅当1?2?3???n时取等号b1b2b3bn22(a12?a22?a32???an)(b122?b22?b32??bn)
（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数
若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1?x2),有
f(x1?x2f(x1)?f(x2))?或22f(x1?x2f(x1)?f(x2)
)?.22则称f(x)为凸（或凹）函数.
5.不等式证明的几种常用方法
比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.
6.不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）.
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；
2
②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的讨论.
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
f(x)?0?f(x)g(x)?0;g(x)?f(x)g(x)?0 f(x)?0??g(x)?g(x)?0（3）无理不等式：转化为有理不等式求解
第 32 页 共 75 页
○1f(x)?g(x)??g(x)?0??定义域
???f(x)?g(x)??f(x)?0? ○2
?f(x)?0?f(x)?0 ○3f(x)?g(x)??g(x)?0或??g(x)?02???f(x)?[g(x)]?f(x)?0? f(x)?g(x)??g(x)?02??f(x)?[g(x)]（4）.指数不等式：转化为代数不等式
af(x)?ag(x)(a?1)?f(x)?g(x);af(x)?ag(x)(0?a?1)?f(x)?g(x)
af(x)?b(a?0,b?0)?f(x)?lga?lgb（5）对数不等式：转化为代数不等式
?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)(a?1)??g(x)?0;?f(x)?g(x)??f(x)?0? logaf(x)?logag(x)(0?a?1)??g(x)?0?f(x)?g(x)?（6）含绝对值不等式
1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想； ○
3应用化归思想等价转化 ○
g(x)?0|f(x)|?g(x)????g(x)?f(x)?g(x)?
g(x)?0|f(x)|?g(x)?g(x)?0(f(x),g(x)不同时为0)或??f(x)??g(x)或f(x)?g(x)?
注：常用不等式的解法举例（x为正数）： ①x(1?x)2?1124 ?2x(1?x)(1?x)?()3?2232722x2(1?x2)(1?x2)123423②y?x(1?x)?y? ?()??y?2232792类似于y?sinxcosx?sinx(1?sinx)，③|x?1|?|x|?|1|(x与1同号，故取等)?2
22xxx 第 33 页 共 75 页
高中数学第七章-直线和圆的方程
考试内容：
直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式．直线方程的一般式． 两条直线平行与垂直的条件．两条直线的交角．点到直线的距离． 用二元一次不等式表示平面区域．简单的线性规划问题． 曲线与方程的概念．由已知条件列出曲线方程． 圆的标准方程和一般方程．圆的参数方程． 考试要求：
（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．
（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． （3）了解二元一次不等式表示平面区域． （4）了解线性规划的意义，并会简单的应用． （5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法．
（6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。理解圆的参数方程．
§07. 直线和圆的方程 知识要点
一、直线方程.
1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是0????180?(0????).
注：①当??90?或x2?x1时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在.
②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地，当直线经过两点(a,0),(0,b)，即直线在x轴，y轴上的截距分别为a,b(a?0,b?0)时，直线方程是：注：若y??y??xy??1. ab22x?2是一直线的方程，则这条直线的方程是y??x?2，但若332x?2(x?0)则不是这条线. 3附：直线系：对于直线的斜截式方程y?kx?b，当k,b均为确定的数值时，它表示一条确定
的直线，如果k,b变化时，对应的直线也会变化.①当b为定植，k变化时，它们表示过定点（0，b）的直线束.②当k为定值，b变化时，它们表示一组平行直线. 3. ?两条直线平行：
l1∥l2?k1?k2两条直线平行的条件是：①l1和l2是两条不重合的直线. ②在l1和l2的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个―前提‖都会导致结论的错误.
（一般的结论是：对于两条直线l1,l2，它们在y轴上的纵截距是b1,b2，则l1∥l2?k1?k2，
第 34 页 共 75 页
且b1?b2或l1,l2的斜率均不存在，即A1B2?B1A2是平行的必要不充分条件，且C1?C2） 推论：如果两条直线l1,l2的倾斜角为?1,?2则l1∥l2??1??2. ?两条直线垂直：
两条直线垂直的条件：①设两条直线l1和l2的斜率分别为k1和k2，则有l1?l2?k1k2??1这里的前提是l1,l2的斜率都存在. ②l1?l2?k1?0，且l2的斜率不存在或k2?0，且l1的斜率不存在. （即A1B2?A2B1?0是垂直的充要条件）
4. 直线的交角：
?直线l1到l2的角（方向角）；直线l1到l2的角，是指直线l1绕交点依逆时针方向旋转到与l2重合时所转动的角?，它的范围是(0,?)，当??90?时tan??k2?k1.
1?k1k2?两条相交直线l1与l2的夹角：两条相交直线l1与l2的夹角，是指由l1与l2相交所成的四
????个角中最小的正角?，又称为l1和l2所成的角，它的取值范围是??0,2?，当??90，则有
??tan??k2?k1.
1?k1k2?l1:A1x?B1y?C1?0的交点的直线系方程A1x?B1y?C1??(A2x?B2y?C2)?0(?l:Ax?By?C?02222?5. 过两直线?为参数，A2x?B2y?C2?0不包括在内）
6. 点到直线的距离：
?点到直线的距离公式：设点P(x0,y0)，直线l:Ax?By?C?0,P到l的距离为d，则有
d?Ax0?By0?CA?B22.
注：
1. 两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：|P1P2|?(x2?x1)2?(y2?y1)2.
特例：点P(x,y)到原点O的距离：|OP|?x2?y2 ????????2. 定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段PP,其中12所成的比为?即PP1??PP2x1??x2y??y2 ,y?11??1??特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。
3. 直线的倾斜角（0°≤?＜180°）、斜率:k?tan?
P1(x1,y1),P2(x2,y2).则 x?4. 过两点Pk?1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率公式：当x1y2?y1.
x2?x1(x1?x2)
?x2,y1?y2（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角?＝90?，没有斜率 王新敞
?两条平行线间的距离公式：设两条平行直线l1:Ax?By?C1?0,l2:Ax?By?C2?0(C1?C2)，
第 35 页 共 75 页