它们之间的距离为d，则有d?C1?C2A?B22.
注；直线系方程
1. 与直线：Ax+By+C= 0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.( m?R, C≠m). 2. 与直线：Ax+By+C= 0垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.( m?R)
3. 过定点（x1,y1）的直线系方程是： A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B不全为0)
4. 过直线l1、l2交点的直线系方程：（A1x+B1y+C1）+λ( A2x+B2y+C2）=0 (λ?R） 注：该直线系不含l2.
7. 关于点对称和关于某直线对称：
?关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.
?关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.
若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线. ?点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.
注：①曲线、直线关于一直线（y??x?b）对称的解法：y换x，x换y. 例：曲线f(x ,y)=0关于直线y=x–2对称曲线方程是f(y+2 ,x –2)=0.
②曲线C: f(x ,y)=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a – x, 2b – y)=0. 二、圆的方程.
1. ?曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线C上的 与一个二元方程f(x,y)?0的实数建立了如下关系： ①曲线上的点的坐标都是这个方程的解. ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.
?曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点M(x,y)其坐标与方程f(x,y)?0的一种关系，曲线上任一点(x,y)是方程f(x,y)?0的解；反过来，满足方程f(x,y)?0的解所对应的点是曲线上的点.
注：如果曲线C的方程是f(x ,y)=0，那么点P0(x0 ,y)线C上的充要条件是f(x0 ,y0)=0 2. 圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是(x?a)2?(y?b)2?r2. 特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x2?y2?r2.
注：特殊圆的方程：①与x轴相切的圆方程(x?a)2?(y?b)2?b2 [r?b,圆心(a,b)或(a,?b)] ②与y轴相切的圆方程(x?a)2?(y?b)2?a2 [r?a,圆心(a,b)或(?a,b)] ③与x轴y轴都相切的圆方程(x?a)2?(y?a)2?a2 [r?a,圆心(?a,?a)] 3. 圆的一般方程：x2?y2?Dx?Ey?F?0 .
?DE?当D?E?4F?0时，方程表示一个圆，其中圆心C??,??，半径r?2??222D2?E2?4F.
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当D2?E2?4F?0时，方程表示一个点???DE?,??. 22??当D2?E2?4F?0时，方程无图形（称虚圆）.
?x?a?rcos?注：①圆的参数方程：?（?为参数）.
y?b?rsin??②方程Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0表示圆的充要条件是：B?0且A?C?0且
D2?E2?4AF?0.
③圆的直径或方程：已知A(x1,y1)B(x2,y2)?(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0（用向量可征）. 4. 点和圆的位置关系：给定点M(x0,y0)及圆C:(x?a)2?(y?b)2?r2.
①M在圆C内?(x0?a)2?(y0?b)2?r2 ②M在圆C上?（x0?a)2?(y0?b)2?r2 ③M在圆C外?(x0?a)2?(y0?b)2?r2 5. 直线和圆的位置关系：
设圆圆C：(x?a)2?(y?b)2?r2(r?0)； 直线l：Ax?By?C?0(A2?B2?0)； 圆心C(a,b)到直线l的距离d?①d?r时，l与C相切；
22??x?y?D1x?E1y?F1?0附：若两圆相切，则??相减为公切线方程.
22?x?y?Dx?Ey?F?0222?Aa?Bb?CA?B22.
②d?r时，l与C相交；
C1: x2?y2?D1x?E1y?F1?0附：公共弦方程：设
C2:x2?y2?D2x?E2y?F2?0
有两个交点，则其公共弦方程为(D1?D2)x?(E1?E2)y?(F1?F2)?0.
③d?r时，l与C相离.
22??x?y?D1x?E1y?F1?0附：若两圆相离，则??相减为圆心O1O2的连线的中与线方程.
22??x?y?D2x?E2y?F2?0??(x?a)2?(y?b)2?r2 由代数特征判断：方程组?用代入法，得关于x（或y）的一元二次方
?Ax?Bx?C?0?程，其判别式为?，则：
??0?l与C相切； ??0?l与C相交； ??0?l与C相离.
注：若两圆为同心圆则x2?y2?D1x?E1y?F1?0，x2?y2?D2x?E2y?F2?0相减，不表示直
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线.
6. 圆的切线方程：圆x2?y2?r2的斜率为k的切线方程是y?kx?1?k2r过圆
x2?y2?Dx?Ey?F?0
上一点P(x0,y0)的切线方程为：x0x?y0y?Dx?x0y?y0?E?F?0. 22①一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特别地，过圆x2?y2?r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x?y0y?r2.
?y1?y0?k(x1?x0)?b?y1?k(a?x1)，联立求出k?切线方程. B②若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则?R??R2?1?ACD(a,b)7. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：ABCD四类共圆. 已知?O的方程x2?y2?Dx?Ey?F?0…① 又以ABCD为圆为方程为
(x?xA)(x?a)?(y?yA)(x?b)?k2…②
(xA?a)2?(yA?b)2…③，所以BC的方程即③代②，①②相切即为所求. R?42
三、曲线和方程
1.曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线C和方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： 1） 曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解（纯粹性）；
2） 方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上（完备性）。则称方程f(x,y)=0为曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x,y)=0的曲线。 2.求曲线方程的方法：.
1）直接法：建系设点，列式表标,简化检验; 2）参数法; 3）定义法， 4）待定系数法.
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高中数学第八章-圆锥曲线方程
考试内容：
椭圆及其标准方程．椭圆的简单几何性质．椭圆的参数方程． 双曲线及其标准方程．双曲线的简单几何性质． 抛物线及其标准方程．抛物线的简单几何性质． 考试要求：
（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程． （2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． （4）了解圆锥曲线的初步应用． §08.
圆锥曲线方程 知识要点
一、椭圆方程.
1. 椭圆方程的第一定义：
PF1?PF2?2a?F1F2方程为椭圆,PF1?PF2?2a?F1F2无轨迹,PF1?PF2?2a?F1F2以F1,F2为端点的线段
?①椭圆的标准方程：
i. 中心在原点，焦点在x轴上：
y2a2x2a2?y2b2?1(a?b?0).
ii. 中心在原点，焦点在y轴上：
?x2b2?1(a?b?0).
2②一般方程：Ax?By?1(A?0,B?0).③椭圆的标准参数方程：
2x2a2?y2b2?1的参数方程为
?x?acos??（一象限?应是属于0???）. ?2?y?bsin??①顶点：(?a,0)(0,?b)或(0,?a)(?b,0).②轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2b.③(?c,0)(c,0)或(0,?c)(0,c).④焦点：焦距：F1F2a2a2x??准线：或y??.⑥?2c,c?a?b.⑤
cc22离心率：e?c焦点半径： (0?e?1).⑦
ax2a2i. 设P(x0,y0)为椭圆
?y2b2PF1?a?1(a?b?0)上的一点，F1,F2为左、右焦点，则 ?ex0,PF2?a?ex0?由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设P(x0,y0)为椭圆
x2b2?y2a2PF1??1(a?b?0)上的一点，F1,F2为上、下焦点，则 a?ey0,PF2?a?ey0?由椭圆方程的第二定义可以推出.
由椭圆第二定义可知：pF1?e(x0?a)?a?ex0(x0?0),pF2?e(a?x0)?ex0?a(x0?0)归结起来为
cc22―左加右减‖.
注意：椭圆参数方程的推导：得N(acos?,bsin?)?方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：d?2b2a2b2b2(?c,)和(c,)
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?共离心率的椭圆系的方程：椭圆程
x2a2?y2b2x2a2?y2b2?1(a?b?0)的离心率是e?c(c?a2?b2)，方a?t(t是大于0的参数，a?b?0)的离心率也是e?c 我们称此方程为共离心率的a椭圆系方程. ?若P是椭圆：b2tanx2a2?y2b2?1上的点.F1,F2为焦点，若?F1PF2??，则?PF1F2的面积为
?2（用余弦定理与PF1?PF2?2a可得）. 若是双曲线，则面积为b2?cot▲y?2.
二、双曲线方程.
1. 双曲线的第一定义：
PF1?PF2?2a?F1F2方程为双曲线PF1?PF2?2a?F1F2无轨迹(bcos?,bsin?)(acos?,asin?)Nx
N的轨迹是椭圆PF1?PF2?2a?F1F2以F1,F2的一个端点的一条射线?①双曲线标准方程：Ax2?Cy2?1(AC?0).
x2a2?y2b2?1(a,b?0),y2a2?x2b2?1(a,b?0). 一般方程：
?①i. 焦点在x轴上：
a2xy顶点：(a,0),(?a,0) 焦点：(c,0),(?c,0) 准线方程x?? 渐近线方程：??0或
cabx2a2?y2b2?0
a2ii. 焦点在y轴上：顶点：(0,?a),(0,a). 焦点：(0,c),(0,?c). 准线方程：y??. 渐近线
c?x?asec??x?btan?y2x2yx方程：??0或2?2?0，参数方程：?或? .
abab?y?btan??y?asec?2a2c②轴x,y为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率e?. ④准线距（两ca2b2c准线的距离）；通径. ⑤参数关系c2?a2?b2,e?. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方
aa程
x2a2?y2b2?1（F1,F2分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）
“长加短减”原则： MF1?ex0?aMF2?ex0?a 构成满足MF1?MF2?2a
▲M?F1??ex0?aM?F2??ex0?ay（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半
径要带符号计算，而双曲线不带符号） M'▲yF1MMxF1F2M'F2x 第 40 页 共 75 页