loga(M?N)?logaM?logaN(1)logaM?logaM?logaNN1logaMn
logaMn?nloga??M?12)loganM?alogaN?NlogbNlogba换底公式：logaN?推论：logab?logbc?logca?1?loga1a2?loga2a3?...?logan?1an?loga1an（以上M?0,N?0,a?0,a?1,b?0,b?1,c?0,c?1,a1,a2...an?0且?1）
注?：当a,b?0时，log(a?b)?log(?a)?log(?b).
?：当M?0时，取“+”，当n是偶数时且M?0时，Mn?0，而M?0，故取“—”. 例如：logax2?2logax?(2logax中x＞0而logax2中x∈R）. ?y?ax（a?0,a?1）与y?logax互为反函数.
当a?1时，y?logax的a值越大，越靠近x轴；当0?a?1时，则相反.
?.函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法.
?.反函数的求法：先解x,互换x、y，注明反函数的定义域(即原函数的值域). ?.函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.
?.函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法.
?.单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较.
?.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数.
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?.图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.
高中数学 第三章 数列
考试内容： 数列．
等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式． 等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式． 考试要求：
（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．
（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．
（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题．
§03. 数 列 知识要点 数列的定义 项 数列的有关概念 项数 数列 数列的通项 通项 数列与函数的关系 等比数列的定义 等差数列的定义 等比数列的通项 等差数列的通项 等比数列 等差数列 等比数列的性质 等差数列的性质 等比数列的前n项和 等差数列的前n项和 定义 递推公式 等差数列 an?1?an?d an?an?1?d；an?am?n?md 等比数列 an?1?q(q?0) anan?an?1q；an?amqn?m 第 12 页 共 75 页
通项公式 中项 an?a1?(n?1)d an?a1qn?1（a1,q?0） A?an?k?an?k2G??an?kan?k(an?kan?k?0)（n,k?N*,n?k?0） 前n项和 Sn?n(a1?an) 2n(n?1)d 2（n,k?N*,n?k?0） ?na1(q?1)?Sn??a11?qn a1?anq?(q?2)?1?q?1?q??Sn?na1?重要性质 * am?an?ap?aq(m,n,p,q?N, m?n?p?q)1. ?等差、等比数列： 定义 等差数列 am?an?ap?aq(m,n,p,q?N*,m?n?p?q)等比数列 {an}为A?P?an?1?an?d(常数）{an}为G?P?an?1an ?q(常数）通项公式 求和公式 （n-1）d=ak+（n-k）d=dn+a1-d an?a1qn?1?akqn?k an=a1+ n(a1?an)n(n?1)?na1?d22 d2d?n?(a1?)n22sn? A=(q?1)?na1?sn??a1(1?qn)a1?anq
?(q?1)?1?q1?q?中项公式 a?b2 推广：2an=an?m?an?m G2?ab。推广：an?an?m?an?m 2若m+n=p+q，则aman?apaq。 若{kn}成等比数列 （其中kn?N），则{akn}成等比数列。 性质1 若m+n=p+q则 a?a?a?a mnpq2 若{k}成A.P（其中kn?N）则{akn}n也为A.P。 3 4 ．sn,s2n?sn,s3n?s2n 成等差数列。 sn,s2n?sn,s3n?s2n成等比数列。 a?a1am?and?n?(m?n) n?1m?nqn?1?ana1 ， qn?m?an am(m?n) 5
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?看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①an?an?1?d(n?2,d为常数) ②2an?an?1?an?1(n?2) ③an?kn?b(n,k为常数).
?看数列是不是等比数列有以下四种方法： ①an?an?1q(n?2,q为常数,且?0)
2②an?an?1?an?1(n?2，anan?1an?1?0)
①
注①：i. b?ac，是a、b、c成等比的双非条件，即b?acii. b?ac（ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要. iii. b??ac→为a、b、c等比数列的必要不充分. iv. b??ac且ac?0→为a、b、c等比数列的充要.
a、b、c等比数列.
注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个. ③an?cqn(c,q为非零常数).
④正数列{an}成等比的充要条件是数列{logxan}（x?1）成等比数列.
?s1?a1(n?1)a??数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系：n?
s?s(n?2)nn?1?[注]： ①an?a1??n?1?d?nd??a1?d?（d可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d不为0，则是等差数列充分条件）. d?d?d??②等差{an}前n项和Sn?An2?Bn???n2??a1??n →可以为零也可不为零→为等差
2?2?2??的充要条件→若d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件.
③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列） ．．2. ①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍Sk,S2k?Sk,S3k?S2k...；
②若等差数列的项数为2nn?N?，则S偶?S奇???nd，S奇S偶an?an?1；
S偶?n n?1③若等差数列的项数为2n?1n?N?，则S2n?1??2n?1?an，且S奇?S偶?an，S奇 ?代入n到2n?1得到所求项数. 3. 常用公式：①1+2+3 ?+n =②12?22?32??n2?n?n?1? 2??n?n?1??2n?1?
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?n?n?1??③13?23?33?n3??? 2??2[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…?an?10n?1； 5，55，555，…?an?5n10?1. 9??4. 等比数列的前n项和公式的常见应用题：
?生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a，年增长率为r，则每年的产量成等比数列，公比为1?r. 其中第n年产量为a(1?r)n?1，且过n年后总产量为：
2n?1a?a(1?r)?a(1?r)?...?a(1?r)a[a?(1?r)n]?.
1?(1?r)?银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a元，利息为r，每月利息按复利计算，则每月的a元过n个月后便成为a(1?r)n元. 因此，第二年年初可存款：
121110a(1?r)?a(1?r)?a(1?r)a(1?r)[1?(1?r)12]. ?...?a(1?r)=
1?(1?r)?分期付款应用题：a为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；r为年利率.
a?1?r??x?1?r?mm?1?x?1?r?m?2?......x?1?r??x?a?1?r?mx?1?r?m?1ar?1?r?m??x? mr?1?r??15. 数列常见的几种形式：
?an?2?pan?1?qan（p、q为二阶常数）?用特证根方法求解.
具体步骤：①写出特征方程x2?Px?q（x2对应an?2，x对应an?1），并设二根x1,x2②若x1?x2nn可设an.?c1xn1?c2x2，若x1?x2可设an?(c1?c2n)x1；③由初始值a1,a2确定c1,c2.
?an?Pan?1?r（P、r为常数）?用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为an?2?Pan?1?qan的形式，再用特征根方法求an；④an?c1?c2Pn?1（公式法），c1,c2由a1,a2确定.
①转化等差，等比：an?1?x?P(an?x)?an?1?Pan?Px?x?x?②选代法：an?Pan?1?r?P(Pan?2?r)?r???an?(a1??Pn?1a1?Pn?2?r???Pr?r.
r. P?1rr)Pn?1??(a1?x)Pn?1?x P?1P?1③用特征方程求解：
an?1?Pan?r?（P?1）an?Pan?1. ?an?1?an?Pan?Pan?1?an?1??相减，an?Pan?1?r?④由选代法推导结果：c1?rrrr. ，c2?a1?，an?c2Pn?1?c1?（a1?）Pn?1?1?PP?1P?11?P6. 几种常见的数列的思想方法：
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