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【希望杯竞赛题】31-40
题31 已知x、y、z?R?，求函数u?x,y,z??xy?yzx?y?z222的最大值.
（第九届高二培训题第61题）
解法1 取待定正数?、?，由均值不等式得xy?yz???x???1??y????y??z? ???????1?1?221212?1?22?112?222?2?x?y??y?z??x???y?z?, ?2????2222????????2??2令??1?2??2?1?2,则?2?2?22,?4?2,???42,??142.于是
xy?yz??22?x22?y?z22??2?x2?y?z22? ?u?x,y,z??xy?yzx?y?z222
2?2?x22?y?z222??22x?y?z,当x?1,y?2,z?1时取等号.?umax?22.
x解法2 ?y?R,u?x,y,z???xy?yzx?y?z222?y?2zy2,可化为
?x??z???1????????y???y?2?x??z??x?x?zz?11?1?1??????????配方，得????1?0,?????1.由上式可2??????????y?u2u?y??y??y?y2u??y2u?222得
12u2?1?0,即?22?u?22.?x,y,z?R,由已知，显然有u?0,?0?u??22.
?umax?22（当
xy?zy?22时，u取得最大值）.
x?z?x?z??.?x,y,z?R,解法3 由已知，得u?2且?, ??22x?y?z22??2?x?z22?x?z?y222?u???y2?x2?z2??y?2y2yx?zx?z2222?22.当且仅当x?z且x?z22?y,即
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x?z?22y时取等号.?umax?22.
解法4 ?x,y,z?R?,?x2?y2?z2?x2?12y?212y?z ?2x?22212y
2?212y?z22?2?xy?yz?,当且仅当x?z?22y时取等号.
?u?x,y,z??xy?yzx?y?z22222
?xy?yz2?xy?yz??.?当且仅当x?z?22y时，u取得最大值
22.
?212??12112?2xy?2yz?x?y???y?z?2221x?y?z2???2?22解法5 ? ? ?uxy?yzxy?yzxy?yz2?xy?yz?xy?yz222212??2,?u?,当且仅当x2?y2?z,即x?z?222y时取等号，
?umax?.
解法6 ?x?y?2xy,x?y?2222?x?y?22, ?u?xy?yzx?y?z222?xy?yz?x?z?22
2?y?2?xy?yz??x?z?2??2y?2?2?x?z?y2?x?z?2y?22.?当且仅当x?z?22y时，umax?22.
解法7 构造如图长方体AC1，设对角线AC1?d,AC1与交于点C1的A三个面所成的锐角分别为?,?,?，长方体的三条棱分别为x,y,z.则B有d2DC?x?y?z.sin??222xd,sin??yd,sin??zd.
A1D1?sin2??sin2??sin??1?
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于是u?xy?yzx?y?z122222?xy?yzd2?xdd?y?ydd?z?sin?sin??sin?sin?
sin???2sin??2sin??2122sin??2sin??sin??sin?222222?22.?当且仅当sin??sin?2?sin?,即x?z?y时，umax?222.
解法8 由u?xy?yzx?y?z222,得uy??x?z?y?u?x?z22??0（1）
?x,y,z?R,u?0,?关于y???x?z??4u22?的一元二次方程（1）的判别式
?x22?z2??0，
x?z?x?z4x?z2222解得u?122x?z?2xz4x?z,
2?22???22??12.当且仅当x?z时取得等号.
?umax?2?umax?22（1）可得y?.把x?z代入
xy?yzx?y?z222x,?当且仅当x?z?22y时，umax?22.
评析 ?u?222,?若xy?yz?k?x?y?z222?，则u?k，这就是说，只要
xy?yz与x?y?z的倍数之间建立了不大于的关系，则u的最大值就求出了.因而解决
2问题的关键就在于找出这样的关系.解法1通过引入正参数?、?，并运用ab?2a?b222,解
a?b?a?b?法3运用公式???2?2?222222，解法4、解法5运用a?b?2ab，解法6运用
x?y?2xy及x?y??x?y?22，圆满解决了这一关键问题.解法2通过将u的分子、
分母同除以y，巧妙地通过配平方，得到
212u2?1?0,进而得0?u?22，很富新意.解法
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7通过构造长方体（若三条棱分别为x,y,z的长方体的对角线长为l，则有
l2222222?x?y?z,而x?y?z恰好是u的分母，且长方体中有8
则把u?xy?x?y?22222sin??sin??sin??1）解决问题.解法
yzz2变为
uy??2x??z?y?2u?x?2y的一元二次方程，利用其有正根的条件得到0，看作关于z?u?22，是方程思想的典型运用.
xyx?y22 拓展 设x,y?R?，显然有u?x,y??的最大值为
12?，即cos；设
3x,y,z?R，已解出u?x,y,z???xy?yzx?y?z222的最大值为
22，即cos?4.
我们不妨猜想：
命题 若ak?0?k?1,2,?,n?2?,则fn??n?1a1a2?a2a3???an?1ana1?a2???an222的最大值是
cos.
证明 取正参数?1,?2,?,?n,有
?1??1??1??????a1a2?a2a3???an?1an???1a1??a2????2a2??a3??????n?1an?1??an?? ????1??2??n?1??1?22?12??1a1??2??22???12?1?22a???????2n?12???n?2??122a?a. ?n?1n?2?n?1??令?1?1?112??2???21?n?22??n?1?21?n?12 （1），因求最大值，故还必须有
?1a1??1a2a1,a2,?2a2?1?2a3,?,?n?1an?1?1?n?1将
an,此即
?1?2?2?2a3a2,?,?n?1?2anan?1.上式代入（1），得
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a2a1?a1?a3a2???an?2?anan?1?an?1an （2），令
?1?r,2则
a2?ra1,a1?a3?ra2,?,an?2?an?ran?1,an?1?ran.观察（2）的形式，考虑作代换
1qr?q??q?C,r?R?.?a?k?2?1???ak?rak?1??q???ak?1,q???ak?qak?1?1q?ak?1?qak?2??3?k1q?n?,故数列?ak?qak?1?是公比为
1q的等比数列，
?ak?qak?1??a2?qa1??k?21qk?2???a11?k?1kq?a?qa?.于是qak?qak?1?a1 ??1??1k?1q????q（3）.
再令bk?qk?1ak,则（3）为bk?q2bk?1?b1?注意b1?a1?，上式变形为 bk?b11?q2b12??q?b??k?11?q2???.这样，又得到一个公比为q2的等比数列??2k2k?2?k?1?1?q1?q?q，即bk?b1?a1, 22?1?q1?q?2n?2?b1b??k21?q??ak?bkqk?1??b1b1?,?b??b??k2?11?q21?q????1?q?a,故有aq?1?q?2k1k?12n?1?1?q?a?,aq?1?q?1n?22n??1?q?a.而
q?1?q?2n1n?122nan?1?1?q?a1?1??1?q?a1?1???q??n?1?ran??q??an,故有n?2，整理得q2?1?q2n?2? 22q?q?1?q??q?q?1?q??2n?2??1?q2n??q?1?,化简得q22n?2?1.?q?cosm?n?1?isinm?n?1?m?Z,0?m?2n?1?.
?fn的最大值唯一，?应能求出m的一个确定的值，对于这个m的值，我们有
?fn?max?12r?1?1?1m?a1a2?a2a3???an?a?ana11n??q??q?q?cos.?f? n222??2?q?2n?1a1?a2???an??2222222?2????2?a1a2?a2a3???an?1an?ana1??????a1?a2???a2?a3?????an?1?an???an?a1?? ?2?a1a2?a2a3???an?1an?ana1?2?a1a2?a2a3???an?1an?ana1??1,??fn?max?1,从而m?0.又?（1）和（2）是fn5
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