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取最大值的充要条件，由（1）（2）可推得ak?km??1?q?am?m?（3）.将q?cos?isinn?1n?1q?1?q?2k1k?12sin代入（3），化简得ak?sinn?1a,?对任意1?k?n,k?Z,都有a?0,?应取m?1.至km?1n?1.
22此，已推知?fn?max?cos?n?1题32 已知a,b?R，且a?b?1?0，则?a?2???b?3?的最小值是 .
（第十届高二培训题第44题）
解法1 ?a,b?是直线x?y?1?0上的动点，点A?2,3?到此直线上各点距离的最小值
2?3?122是点A到该直线的距离d?2222?d?18. ?32，???a?2???b?3????min解法2 ?a?2???b?3???1211222?2??a?2???b?3????a?2?b?3? ??22?a?b?1?6?解法3
2?12?0?6?2?18.当a?2?b?3，即a??1,b?0时取等号.?所求最
小值为18.
22?a?2??12??b?3??2121??a?2?2??b?3?2??12?12????a?2??1??b?3??1?
???2?2?a?2?b?3?解
?12??6?2?18.当
a?21?b?31，即a??1,b?0时取等号.?所求最
小值为18.
法
224
222?2??a?2???b?3????a?2?b?3?a?2?b?3?a?b?5??? ??????????????????a?b?1?22，
2??a?2???b?3???1?6)?212?a?b?5?2?12?a?b?1?2?12?a?b?5?2?12(a?b
2212???6??18．当a?b?1?0,即a??1,b?0时取等号,??a?2???b?3?2的最小值为18.
解
2法
22225
?a?b?1?0,?b??a?1,??a?2???b?3???a?2????a?4??2a?
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4a?20?2?a?1??18.?当a??1时，?a?2???b?3?有最小值18.
222解法6 设?a?2???b?3??t?0,又设a?2?tcos??2,b?tsin??3,22tcos?,b?3?tcos??tsin?,则a?
由
a?b?1?0,得tsin??6?0,即
2tsin(???4)
2tsin(???6?0.??2t??4)?2t,??2t?6?2tsin(???4)?6?2t?6,即
?2t ?6?0?2t?6,解得t?18.??a?2???b?3?的最小值为18.
227 构造
?????????2?2x??1,1?,y?(a?2,b?3),?x?y?x?y?cos??x?y,?x?y
解法向量
2??2222221?a?2?1?b?3?a?b?5??x?y,即1?1???a?2???b?3???? ??????????????a?b?1?6??36,??a?2???b?3??18.?当且仅当
222a??1b,?时， 0?a?2?2??b?3?取得最小值18.
222评析 因为已知a?b?1?0, 所以要求?a?2???b?3?的最小值，关键就是得到
?a?2?22??b?3?与关于a?b的式子之间的大于等于关系.解法2利用
222?a?b???a?b?2,解法3利用柯西不等式?a?b22??c2?d2???ac?bd?2,解法4巧妙
地利用配方法，都顺利地解决了这一关键问题.解法5则是把b??a?1代入所求式，使之
变为关于a的二次函数，再求其最小值，是函数思想的具体运用.解法6设
?a?2?2??b?3??t后，运用三角代换，最终转化成解关于t的不等式，是等价转化思想
2???在解题中的一次妙用.解法7通过构造向量，利用x?y?x? ??2?y,即x?y2??2?x?y使问题获解，充分发挥了新教材中向量这一工具在求代数最值中的
作用.应当指出，许多最值问题都可以通过构造向量，利用向量的上述性质得到解决.而解法1则是将?a?2???b?3?看作定点A?2,3?与直线x?y?1?0上的动点的距离的平方，故能直观地知道点?2,3?到直线x?y?1?0的距离的平方就是所求的最小值，简洁明了，
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充分显示了等价转化与数形结合思想的威力.
拓展 将此赛题一般化，便得下面的
定理 若x,y满足Ax?By?C?0（A、B、C是实常数，A、B不全为零），m，n是实
常数，则?x?m???y?n?的最小值是
22?Am?Bn?C?A?B2222.
2证明 ?x?m???y?n?Ax?By?
22?????x?m???y?n?2?，表示定点m,n与直线
????C?0上的动点之间的距离d的平方.?d?Am?Bn?CA?B22,??x?m???y?n?的最小值
22是
?Am?Bn?C?A?B222.
运用该定理解本赛题：?A?B?C?1,m?2,n?3,?所求最小值是(1?2?1?3?1)1?1222?18.
下面的题目供读者练习：
1.已知x，y满足x?2y?4?0，求?x?3???y?2?的最小值. 2.已知p,q?R，且2p?3q?6?0，求?p?1???q?3?的最小值. 3.已知m,n?R，且3m?2n?12?0，求答案 1.5 2.13 3.241313
222222?m?2?2??n?3?的最小值.
2题33 实数x，y满足方程x?y?6x?4y?9，则2x?3y的最大值与最小值的和等于_______.
（第十届高二第二试第17题）
解法1 题设方程就是(x?3)??y?2??4，设?22s?x?3?2co?n?y?2?2si?，即
s?x?3?2co?,则2x?3y?2(3?2cos?)?3(?2?2sin?)?4cos??6sin??12 ?y??2?2si?n?网站地址：南京市湖南路1号B座808室 联系电话：025-83657815
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?213cos(???)?12(tan??32)，?(2x?3y)max?12?213，
(2x?3y)min?12?213.?(2x?3y)max?(2x?3y)min?24.
解法2 题设方程就是(x?3)2??y?2??4，根据柯西不等式，
[2(x?3)?(?3)(y?2)]?[2?(?3)][(x?3)?(y?2)]?13?4?52，即 (2x?3y?12)?52,??52?2x?3y?12?222222252,12?52?2x?3y?12?52,
?(2x?3y)max?(2x?3y)min?(12?252)?(12?252)?24.
解法3 题设方程就是(x?3)??y?2??4，结合u?2x?3y， 又配方 于是13?4?(2x?3y?12)， 13[(x?3)?(y?2)]?(2x?3y?12)?(3x?2y?5)，即12?52?2x?3y?12?52 .
52)?(12?52)?24.
22222 ?(2x?3y)max?(2x?3y)min?(12?解法4 设u?2x?3y，则y?23x?u3，代入x2?y2?6x?4y?9，整理得
222213x?(4u?30)x?u?12u?81?0，?x?R， ???(4u?30)?4?13?(u?
12u?81)?0，即u?24u?92?0，解之得12?252?u?12?52. ?(2x?3y)max?(2x?3y)min?(12?252)?(12?52)?24.
解法5 已知等式(x?3)??y??22?4示一个圆，令2x?3y?t，即表
2x?3y?t?0，表示一直线，若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离应小于等于圆
的半径，即
|2?3?3?(?2)?t|3?(?2)22?2，即|12?t|?213，解得12?52?t?12?52，
?(2x?3y)max?(2x?3y)min?(12?52)?(12?252)?24.
解法6 已知方程就是(x?3)??y????????2??2?4构造向量a?(2,?3)，，
??2?2?2b?(x?3,y?2). ?|a?b|?||a|?|b|cos?|?|a|?|b|，?|a?b|?|a|?|b| ，即
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?2(x?3)?3(y?2)?22??,
2?(?3)22???,
2(x?3)?(y?2)22?2?13?4?52.即
52(2x?3y?12)?52于是12?52?2x?3y?12?，
?(2x?3y)max?(2x?3y)min?(12?52)?(12?252)?24.
评析 因为已知方程就是(x?3)2??y?2??4，而要求的是一次式2x?3y的最大值与最小值的和，所以解法1运用三角换元，将问题转化为求三角函数的值域，这是解决这类问题的通法，已知方程表示椭圆时，此法仍然适用.解法2运用柯西不等式求解，之所以凑成[2?(x?3)?(?3)?(y?2)]2，是因为这样才会出现2x?3y，并可利用
(x?3)??y?2??4.解法3运用的是配方法，请读者思考为什么如此配方：
2213[(x?3)?(y?2)]?(2x?3y?12)?(3x?2y?5)?解法4运用的是待定参数法及
2222方程思想，也是解决这类问题的通法.解法5运用数形结合思想，将抽象的代数问题转化成直观的几何问题，轻松解决问题.解法6通过已知方程(x?3)??y?2??4联想到向量模
22的平方，从而通过构造向量，运用|a?b|?|a|?|b|2解决问题，思路清晰，体现了向量在解题中的工具作用.
拓展 将此赛题一般化，便得
命题1 实数x,y满足(x?m)2??y?n??r2(r?0),，实数p,q不全为零，则
2??2?2?(px?qy)max?(px?qy)min?2(pm?qn).
证明 设px?qy?u，即px?qy?u?0①，又已知(x?m)2??y?n??r2②，由
2题意，直线①与圆②有公共点，故圆心(m,n)到直线①的距离小于等于圆的半径r，即 |pm?qn?u|p?q?r222?r，即|u?(pm?qn)|?rp?q，??r22p?q?u?(pm?qn)
22p?q,即?r2p?qp?q222?pm?qn?u?r?pm?qn?r2p?q222?pm?qn，?(px?qy)max
?(px?qy)min??r2p?q?pm?qn?2(pm?qn).
将命题1中的圆改为椭圆，又得 命题2 实数x,y满足
(x?m)a22?(y?n)b22?1(a,b?0,a?b)，p,q不全为零，则
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