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(px?qy)max?(px?qy)min?2(pm?qn).
证明 设x?m?acos?，y?n?bsin?即
x?m?acos?,y?n?bsin?,?px?qy
?p(m?acos?)?q(n?bsin?)?pacos??qbsin??pm?qn?pa?qbcos(???)
22222222
?pm?qn?[?pa?qb?pm?qn,pa?qb2222（其中tan???pm?qn]，
qbpa）.
?(px?qy)max?(px?qy)min?2(pm?qn).
的
题34 线段AB的端点坐标是A（-1，2），B（2，-2），直线y=kx+3与线段AB相交
充要条件是
52525252（ ）
A、??k?1 B、1?k? C、??k?1且k≠0 D、k??或k?1
（第八届高二培训题第2题）
解法1 线段AB的方程为
y?22?2?x?2?1?2，即4x+3y-2=0
y M A 52?y?kx?37(-1≤x≤2),由?，得x??，令-1≤
4x?3y?2?04?3k??74?3k≤2，解得k??523 或k?1，选D.
解法2 如图1所示，y=kx+3是过定点M（0，3）的直线系方程，易求得直线MA、MB的斜率分别是kMA?1,kMB??,
-3 O -2 2 B x 当直线MA绕点M逆时针旋转与线段AB相交时，其斜率由1
增加到+∞；当直线MB绕点M顺时针旋转与线段AB相交时，其斜率由?52减小到-∞，所以k??52图1
或k?1，故选D.
解法3 如图2，设直线MA与MB分别与x轴交于点A’，B’，易求得直线MA、MB的方程分别为y=x+3,y=?可求得A’（-3，0），B’（-65y M A A’ -3 3 B’N O -2 2 B 11 52x+3,从而
，0），在△MA’B’ 中，过M任
作一条直线y=kx+3交边A’B’于点N，则直线也必与线段AB相交，反之亦然.OM⊥A’B’，|OM|=3，k=tan∠MNO（N在OA’
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x 网站地址：南京市湖南路1号B座808室 联系电话：025-83657815 y=kx+3 图2
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上）或k=tan（π-∠MNO ）（N在OB’上）两种情形，但都有k??由?3??3k?65OMON，所以ON??3k，
，解得k??52或k?1，故选D.
解法4 设直线y?kx?3与线段AB交于点N(x0,kx0?3),点N内分AB所成的比为?1?2??x?0?k?15?1???,则?,消去x0,得??得k??或k?1.又当直线y?kx?3?0，
2k?52?kx?3?2?2??01???????过点A、B时，k的值分别为1,?52，所以所求充要条件为k??52或k?1.故选D.
解法5 当k=0时，直线y=kx+3即y=3与线段AB显然不相交，所以排除含0的A、B，又当k=-1时，直线y=kx+3即y=-x+3与线段AB也不相交，所以又排除含-1的C,故选D. 评析 解法1运用的是方程思想，若运用这个思想，先求出直线MA、MB与x轴的交点A’，B’的横坐标Ax’，Bx’,并求出直线y=kx+3与x轴的交点N的横坐标Nx，再解Ax’≤ Nx≤Bx’，同样可以解决问题.解法2直接通过观察图象，看直线y=kx+3与线段AB相交时的k与kMA、kMB之间的关系而选D，显得直观明了.解法3运用平面几何知识求Nx，别具一格.解法4运用定比分点知识求解,也是解此类问题的通法之一.解法5运用了特殊值法，显得最为简捷.值得注意的是，如果取k=1，发现直线y=kx+3与线段AB相交，此时就选A那就错了，请读者想想这是什么原因.
拓展 已知直线l:f(x,y)?x?y?1?0,显然点A（0，1）、B（1，3）与点C（1，-1）、D（3，1）都在l的同侧，点A、C与点B、D都在l的异侧，∵f (0,1)=-2<0，f (1,3)=-3<0，f (1,-1)=1>0，f (3,1)=1>0∴f (0,1)与f (1,3)同号，f (1,-1)与f (3,1)同号，f (0,1)与f (1,-1)异号，f (1,3)与f (3,1)异号，是否对于任意直线l的同侧或异侧的任意两点都有此结论呢？经研究，我们有下面的
定理1 已知两点M（x1,y1）、N(x2,y2)及直线l:f(x,y)?Ax?By?C?0 (1) 若点M、N在l的同侧，则f（x1,y1）f (x2,y2)>0; (2) 若点M、N在l的异侧，则f（x1,y1）f (x2,y2)<0.
证明 （1）10当B≠0时，不妨设点M、N都在l的上方，则
y1??ABx1?CB,y2??ABx2?CB,
所以当B>0时，有Ax1?By1?C?0,Ax2?By2?C?0，即f（x1,y1）>0，f (x2,y2)>0；当B<0时，有Ax1?By1?C?0,Ax2?By2?C?0，即f（x1,y1）<0，f (x2,y2)<0,所以当B≠0时，
f（x1,y1）f (x2,y2)>0；
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20当A≠0，B=0时，l的方程为f(x,y)?Ax?c?0，此时l⊥x轴，不妨设设点M、N都在l的右侧，则x1??CA,x2??CA，所以当A>0时，Ax1?C?0,Ax2?C?0，即
f（x1,y1）>0，f (x2,y2)>0；当A<0时，Ax1?C?0,Ax2?C?0，即f（x1,y1）<0，f (x2,y2)<0，所以当A≠0，B=0时，f（x1,y1）f (x2,y2)>0.
综上可知，当点M、N在l的同侧时，f（x1,y1）f (x2,y2)>0.
（2）10当B≠0时，不妨设点M、N分别在l的上、下方，则
y1??ABx1?CB,y2??ABx2?CB，故当B>0时，有Ax1?By1?C?0,Ax2?By2?C?0,
即（fx1,y1）>0，f (x2,y2)<0; 当B<0时，有Ax1?By1?C?0,Ax2?By2?C?0, 即（fx1,y1）<0，f (x2,y2)>0；所以当B≠0时，f（x1,y1）f (x2,y2)<0；
20当A≠0，B=0时，l的方程为f(x,y)=Ax+c=0，此时l⊥x轴，不妨设设点M、N分别在l的左、右侧，则x1??CA,x2??CA.所以当A>0时，Ax1?C?0,Ax2?C?0，即
f（x1,y1）<0，f (x2,y2)>0；当A<0时，Ax1?C?0,Ax2?C?0，即f（x1,y1）>0，f (x2,y2)<0，所以当A≠0，B=0时，f（x1,y1）f (x2,y2)<0.
综上可知，当点M、N在l的异侧时，f（x1,y1）f (x2,y2)<0.
根据定理1，不难得到
定理2 直线Ax+By+C=0与以点P1（x1,y1）、P2 (x2,y2)为端点的线段相交的充要条件是(Ax1?By1?C)(Ax2?By2?C)?0.
运用定理2，可得本赛题的如下解法：
直线y=kx+3即kx-y+3=0，由定理2，可知（-k-2+3）（2k+2+3）≤0，即k??为所求的充要条件，故选D.
题35 过点P?1,1?且与两条坐标轴围成面积为2的三角形的直线的条数是 .
(第十届高二第一试第18题)
解法1 记过点P?1,1?的动直线为l,Q?0,1?,O为坐标原点(如图),则当直线l从OP的位置绕点P顺时针转动到直线PQ的位置时,它和坐标轴在第二象限内围成的三角形的面积从零增加到??,故围成的三角形在第二象限时,满足条件的直线l有且只有一条,同理,围成的三角形在第四象限时,满足条件的直线l也有且只有一条,并且,满足条件的三角形在第三象限不存在.当围成
1 y B Q 52或k?1P x O 1 A 的三角形在第一象限时,显然l存在斜率k,设l的方程为y?1?k(x?1),(k?0),l与x轴、
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y轴的正半轴分别交于点
.(A
1、B
)，则
1A(?1k11,B?0?)Sk?,OA(?OB0?,(?1122k1 ?k))?1?1?1????k??2,?当k??1时,S的最小值为2,故当围成的三角形在第一象限时,???k??2??满足题设的直线也只有一条.
综上,所求的直线为3条.
下面的解法中,对“围成的三角形在第二、四象限时,满足题设的直线l都只有一条,且
满足题设的三角形在第三象限不存在”不再一一叙述,仅对围成的三角形在第一象限时加以解答.
解法2 设直线l与x轴,y轴的正半轴分别交于点A(a,0),B(0,b),(a?0,b?0),则直线l的方程为中
S?12xa?yb?1.?直线l过点P(1,1),?1a?1b?1.故设1cos?21a?cos?,1sin?221b?sin?(其
20???ab??212),
?则
222a?,b?,故
2sin?cos?4sin?cos?22????2?? (当时取等号),即Smin?2.故所求的直线共有3条. 214sin2?2
解法3 同解法2,得即
1a?1b?1,?1?1a?1b?2ab,?ab?4,(当且仅当
1a?1b?12,
a?b?2时取等号), ?S?12ab?12?4?2,即Smin?2.故所求的直线共有3条.
????解法4 设直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点A(a,0),B(0,b),点P(1,1)分AB所
a?1??a?1?????1??成的比为?,则??0,?,即?1(a?0).故
?b?1??1?b????1???S?12OA?OB?12ab?12(1??)(1?1)?1?12(??1)?1?1?2.??1时，Smin?2.??故所求直线共有3条.
评析 上述解法都是用运动变化的观点与数形结合的思想方法分析答案的可能性.围成的三角形在第二、四象限时,l只有一条,围成的三角形在第三象限不可能,这些是容易看到
的,关键是围成的三角形在第一象限时，满足题设的直线l有几条.直观地看,可能性有三个:0条,1条,2条.那么到底有多少条?四种解法分别用不同的方法求出了三角形面积的最小值为2,故此时的l只有一条,从而解决了问题.
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此题也可直接求解:不论围成的三角形在第几象限, l的斜率总是存在的.设l的方程为
y?1?k(x?1).则l与x轴,y轴的交点分别为A(1?1k,0),B(0,1?k).故
S?121?1k?1?k?1(k?1)2k2?2,(k?1)?4k2①.当k?0时,①就是
(k?1)?4k,k2222?6k?1?0,有两个不等的正数解；当k?0时,①就是(k?1)??4k,
(k?1)?0,k??1.故所求直线为3条.
拓展 将此题内容拓广,可得
定理1 动直线l过定点P(m,n)(mn?0),则直线和坐标轴在点P所在象限内围成三角形的面积的最小值是2mn.
证明 设直线l与x轴,y轴分别交于点A(a,0),B(0,b),??OAB在点P(m,n)所在象限,
?am?0,bn?0,直线mal的方mnab程为
xa?yb?1.?直线l过点
P(m,n),?ma?nb?1,?1?12?nb?2,即ab?4mn,当且仅当a?2m,b?2n时
取等号.?S?OAB?ab?2mn.
定理2 直线l过定点P(m,n)(mn?0)且和坐标轴围成的三角形的面积为S,则 ⑴当0?S?2mn时,满足条件的直线l有且仅有两条. ⑵当S?2mn时,满足条件的直线l有且仅有三条. ⑶当S?2mn时,满足条件的直线l有且仅有四条.
根据定理1的结论及图象不难知道定理2的正确性.证明从略.
题36 某工厂安排甲、乙两种产品的生产.已知每生产1吨甲产品需要原材料A、B、C、D的数量分别为1吨、2吨、2吨、7吨；每生产1吨乙产品需要原材料A、B、D的数量分别为1吨、4吨、1吨.由于原材料的限制，每个生产周期只能供应A、B、C、D四种原材料分别为80吨、80吨、60吨、70吨.若甲、乙产品每吨的利润分别为2百万元和3百万元.要想获得最大利润，应该在每个生产周期安排生产甲产品 吨，期望的最大利润是 百万元.
（第十三届高二第一试第25题）
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