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解 设生产甲、乙两种产品的吨数分别为x、y.则根据题
yX=30意可知求函数z?2x?3y的最大值，限制条件为?x?y?80,?2x?4y?80,?? ?2x?60,?7x?y?70,???x?0,y?0.7x+y=70x+y=80MR2x+4y=80ON2x+3y=kx如图，上述不等式组约束区域即图中的阴影部分.区域的顶点坐标为M（0，20），N（10，0），R??100?1312,2210?，O（0，0）,直线的斜率.直线2x?4y?80的斜k??2x?3y?k?1313?率k2??.
10013?3?21013?83013由图可知，2x?3y在点R处取得最大值，最大值为2?元）. 故填
10013;83013（百万
.
评析 可用若干不等式表示的限制条件下某二元一次函数的最大（小）值的应用题，
通常可用线性规划知识求解，其步骤如下：
1、设变量（如x,y），建立目标函数z?f?x,y?（如z?2x?3y）. 2、根据约束条件列出不等式组. 3、画出不等式组表示的平面区域.
4、作出直线f?x,y??0，并将其向上或向下平移确定最优解. 5、将最优解代入z?f?x,y?便得所求最值.
222题37 点M?x0,y0?是圆x?y?r?r?0?内圆心以外的一点，则直线
x0x?y0y?r2与该圆的位置关系是
（ ）
（A）相切 （B）相交 （C）相离 （D）相切或相交
（第七届高二第一试第5题）
2222解法1 圆x?y?r的圆心是O?0,0?，它到直线x0x?y0y?r的距离
d?x0?0?y0?0?rx0?y0222?r222，?点M?x0,y0?在圆x?y?r的内部且不在圆
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心，?0?C.
x0?y022?r,?d?r.可知直线x0x?y0y?r2与圆x2?y2?r2相离.故选
解法2 令r?2,x0?y0?1，满足题设.此时，直线x?y?4与圆x2?y2?4相离.由正确选择支的唯一性，选C.
评析 解析几何中，判断直线与圆的位置关系就看圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系：
d?r?直线与圆相离； d?r?直线与圆相切；d?r?直线与圆相交.
对于二次曲线C:f?x,y??0与点M?x0,y0?的位置关系，有下面的结论： 点M 在曲线C上?f?x0,y0??0； 点M在曲线C内?f?x0,y0??0； 点M在曲线C外?f?x0,y0??0.
所谓二次曲线内是指曲线把平面分成的两（或三）部分中含有焦点（或圆心）的部分. 以上这些就是解法1的依据.
由于是选择题，解法2运用特殊化思想求解，显得更简捷.应当指出，特殊值法（包括适当选取特殊点、特殊角、特殊函数、特殊曲线、特殊位置等）通常应是解选择题时首先考虑的方法，一旦用上，简单快捷，可以大量节省时间.
此题来源于课本上的一道习题：“已知圆的方程是x2?y2?r2，求经过圆上一点
2M?x0,y0?的切线方程.”答案是x0x?y0y?r.
拓展 给定圆C：x?y?r与定点M?x0,y0?，（x0?y0?0），则直线
22222l:x0x?y0y?r就是存在且确定的，它与定圆到底是什么样的位置关系呢？经研究，有
2下面的结论.
结论1 若点M?C,则l与C切于点M.（这是显然的，证明略）
2结论2 若点M在圆外，过点M引圆C的两条切线MT1与MT2，则x0x?y0y?r为
过两切点的直线方程，因而l与C相交.
证明 设T1?x1,y1?和T2?x2,y2?是两个切点，由结论1，直线MT1与MT2的方程分别
222是x1x?y1y?r与x2x?y2y?r.因为它们相交于点M?x0,y0?，于是x1x0?y1y0?r22与x2x0?y2y0?r同时成立.于是得x0x?y0y?r表示直线T1T2的方程.l与C显然相交.
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结论3 若点M在圆C内且不是圆心，以M为中点的圆的弦为AB，过A、B的两条切线相交于点N，则x0x?y0y?r2表示过点N且平行于AB的直线方程，因而l与C相离.
证明 令N?m,n?，由结论2，直线AB的方程一定是mx?ny?r2.因为M是AB的中点，所以mx0?ny0?r2，这说明点N在直线l:x0x?y0y?r2上.下面证明AB∥l.①当x0y0?0时，由于O、M、N三点共线，可知mn?0，过M、N引同一坐标轴的垂线，由点的坐标定义及直角三角形的相似关系，易知
mx0?ny0?1??r?r22，故AB∥l.②当
x0y0?0时，由于x0?y0?0，则有x0?0,m?0或y0?0,n?0.无论哪种情况，两
22直线都同时垂直于同一坐标轴，并且在该坐标轴上截距不等.故AB∥l.此时l与C显然相离.
题38 过圆x2?y2?2x?6y?1?0与圆x2?y2?6x?6y?17?0的交点的直线方程是 .
（第二届高二第二试第15题）
22??x?2?x?y?2x?6y?1?0解 解方程组? ，得?，故两圆相切于点（2，3），
22y?3???x?y?6x?6y?17?0所以所求直线方程是??x?2????y?3??0，其中?,?为参数.
评析 先通过解方程组求出两圆的交点坐标，如果交点有两个：?x1,y1?,?x2,y2?，则所求直线方程为?x2?x1??y?y1???y2?y1??x?x1?.但此题中的两圆只有一个交点?2,3?，过点?2,3?的所有直线该如何表达呢？有人表述为y?3?k?x?2?（k为参数），这就错了，因为方程y?3?k?x?2?表示的所有直线中并不包括直线x?2（即过点?2,3?且垂直于x轴，亦即过点?2,3?且斜率不存在的那一条）.而??x?2????y?3??0（?,?为参数）才能表示过点?2,3?的所有直线.当??0且??0时，该直线方程就是x?2.一般地，过点
?x0,y0?的所有直线组成的直线系方程为??x?拓展 我们先看下面的问题：
x0????y?y0??0（其中?,?为参数）.
求过两圆x?y?4x?4y?7?0与x?y?12x?6y?36?0的交点的直线方程.
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分析：按上面评析中的思路，先解方程组得两交点坐标，再求出过这两点的直线方程为
8x?2y?29?0.
如果将两圆方程相减，也得8x?2y?29?0，恰好就是过两圆交点的直线方程.这是否是一种巧合呢？非也.设两圆交于A、B两点，则A、B的坐标既是方程组?x2?y2?4x?4y?7?0?x2?y2?12x?6y?36?0的 解，也是方程组?的解，即A、?8x?2y?29?08x?2y?29?0??B的坐标都适合方程8x?2y?29?0，故8x?2y?29?0就是直线AB的方程.
那么，当两圆外切时，两圆方程相减所得方程又表示什么样的直线呢？就拿此赛题为例，
2222得x?2.由图形，可知x?y?2x?6y?1?0与x?y?6x?6y?17?0两边相减，
直线x?2恰好是过两圆切点的公切线.这也不是偶然的，道理与两圆相交时一样.当两圆内切时，此结论也成立.
于是，我们有下面的
定理 已知两圆
C1:x?y?D1x?E1y?F1?0，C2:x?y?D2x?E2y?F2?0,则
2222⑴当两圆相切时，过切点的公切线方程是?D1?D2?x??E1?E2?y?F1?F2?0； ⑵当两圆相交时，公共弦所在的直线方程是?D1?D2?x??E1?E2?y?F1?F2?0. 题39 若实数x、y适合方程x2?y2?2x?4y?1?0，那么代数式围是——.
（第九届高二第一试第17题）
解法1 已知方程就是?x?1???y?2??4，
22yx?2的取值范
y N M A -2 2yx?2?y?0x???2?，所以题意就是求圆?x?1???y?2??422上的点?x,y?与定点A??2,0?的连线的斜率的取值范围.如图,，只
须
求2?1??(O 1 x 切0?线AN的斜率k.易知2kAM1?k2AMkAM?2.?kAN?t2)3a?NnAx?tan?2?MAx???3?12.
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??12???0,. 注：切线AN的斜率k的另一种求法：设AN的方程是?x?2?5?yy?0?k?x?2?,即kx?y?2k?0，则圆心M到切线AN的距离等于圆M的半径,即k?1?2?2kk?1222?2，解得k?0（舍去），k?125.
解法2 已知方程就是?x?1???y?2??4，故设x?1?2cos?,y?2?2sin?,即x?1?2cos?,y?2?2sin?,则
yx?22?2?2sin?3?2cos?.令
2?2sin?3?2cos??k，得
2si?n?2kco?s?3k?2,即
4?4ksin??????3k?2,sin??????3k?24?4k2.
?sin??????1,?3k?24?4ky2?1,解得0?k?125,即
?12??0,x?2?52y? ?.?解法3 设
x?2?k，则y?kx?2k,代入x?y?2x?4y?1?0并整理，得
2?1?k?x22?4k2?2?4k?2x?4k?2?8k?1?0.由???4k?4k?2?
22?4?1?k2??4k?8k?1??0,2得0?k?125.由x?y?2x?4y?1?0,12522即时，
?x?1?2??y?2??4可知?2?x?1?2,即?1?x?3.经验证，当0?k?f(?1)?0,f(3?)且对称轴x??0,4k?4k?22?1?k22????1,3?.故
?12??0,x?2?522y? ?.?评析 解法1将
yx?2看作
y?0x???2?，进而看作圆?x?1???y?2??4上的动点
?x,y?与定点??2,0?的连线的斜率，将问题转化为求此斜率的范围；解法
内有解的条件求出所求范围.都体现了化归转换的思想.
由于椭圆
xa222 通过换元，将
问题转化为求三角函数的值域；解法3 通过整体换元并消去y后，利用二次方程在某区间
?yb22?1?a?b?0?有性质x?y?a?b22（请读者自证），故本赛
题又有如下解法：
设
yx?2?t，则tx?y?2t?0.已知方程就是
?x?1?2??y?2??1，则
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