题31 已知x、y、z?R，求函数u?x,y,z???xy?yzx?y?z222的最大值.
（第九届高二培训题第61题）
解法1 取待定正数?、?，由均值不等式得xy?yz???x???1??y????y??z? ???????1?1?221212?1?22?112?222?2?x?y??y?z??x???y?z?, ?2????22??2?2?2??????2令??1?2??2?1?2,则?2?2?22,?4?2,???42,??142.于是
xy?yz??22?x2?y2?z2??2?x2?y2?z2 ?u?x,y,z???xy?yzx?y?z222
22x?y2?z2??2?22?,当x?1,y?22x?y?z22,z?1时取等号.?umax?22.
x解法2 ?y?R,u?x,y,z???xy?yzx?y?z222?y?2zy2,可化为
?x??z???1????y??y??????2?x??z??xz?1?x?z1?1?1??????????????1?0,?????1.由上式可得配方，得2?y??y??yy?u?y2u??y2u?2u??????????22212u2?1?0,即?2222xy?u?zy2222.?x,y,z?R?,由已知，显然有u?0,?0?u?22.
?umax?（当??时，u取得最大值）.
x2?z2?x?z??, .?x,y,z?R,且?解法3 由已知，得u?2??2222x?y?z???x?z?y2?u?2?x2?z2??y?x2?z2??y2?2yx2?z22yx2?z2?22.当且仅当x?z且x2?z2?y2,即
1
x?z?22y时取等号.?umax?22.
解法4 ?x,y,z?R,?x2?y2?z2?x2??1222y2?12y2?z2 ?2x2?12y2 ?212y2?z2?2?xy?yz?,当且仅当x?z?y时取等号. ?u?x,y,z??22xy?yzx?y?z222
?xy?yz2?xy?yz??22.?当且仅当x?z?22y时，u取得最大值.
?212??12112?x?y?y?z2xy?2yz????2221x?y?z22??? ?22 解法5 ???uxy?yzxy?yzxy?yz?2?xy?yz?xy?yz?2,?u?22,当且仅当x2?12y2?z2,即x?z?22y时取等号，
?umax?22.
解法6 ?x?y?2xy,x?y?2222?x?y?22, ?u?xy?yzx?y?z222?xy?yz?x?z?22
?y2?2?xy?yz??x?z?2??2y?2?2?x?z?y2?x?z?2y?22.?当且仅当x?z?22y时，umax?22.
解法7 构造如图长方体AC1，设对角线AC1?d,AC1与交于点C1的A三个面所成的锐角分别为?,?,?，长方体的三条棱分别为x,y,z.则B有d?x?y?z.sin??2222DCxd,sin??yd,sin??zd.
B1A1C1D1?sin2??sin2??sin2??1?
xy?yzx2?y2?z2?xy?yzd2?于是u?xyyz????sin?sin??sin?sin? dddd 2
sin2???11sin2?sin2??sin2?sin2??sin2??sin2?222???.2222sin?2?sin?,即x?z?22y时，umax?22.
?当且仅当sin??解法8 由u?xy?yzx?y?z222,得uy2??x?z?y?u?x2?z2??0（1）
?x,y,z?R?,u?0,?关于y的一元二次方程（1）的判别式???x?z??4u2?x2?z2??0，
2解得u?2x2?z2?2xz4x2?z2???x2?z2?x2?z24x2?z2???122.当且仅当x?z时取得等号. ?umax?12,
?umax?22.把x?z代入（1）可得y?2x,?当且仅当x?z?22y时，umax?22.
评析 ?u?xy?yzx?y?z222,?若xy?yz?k?x2?y2?z2?，则u?k，这就是说，只要
则u的最大值就求出了.因而解决问题的xy?yz与x2?y2?z2的倍数之间建立了不大于的关系，
关键就在于找出这样的关系.解法1通过引入正参数?、?，并运用ab?2a2?b22,解法3运用公
a2?b2?a?b?式?，解法4、解法5运用a?b?2ab，解法6运用??2?2?x?y?2xy及x?y?2222?x?y?22，圆满解决了这一关键问题.解法2通过将u的分子、分母
同除以y，巧妙地通过配平方，得到
212u2?1?0,进而得0?u?22，很富新意.解法7通过构
2222造长方体（若三条棱分别为x,y,z的长方体的对角线长为l，则有l?x?y?z,而
x2?y2?z2恰好是u的分母，且长方体中有sin2??sin2??sin2??1）解决问题.解法8则
把u?
xy?yzx?y?z222变为uy??x?z?y?ux?z22?2??0，看作关于y的一元二次方程，利用其
3
有正根的条件得到u?22?，是方程思想的典型运用.
拓展 设x,y?R，显然有u?x,y??xyx2?y222的最大值为
12，即cos?3；设x,y,z?R，
?已解出u?x,y,z??xy?yzx?y?z222的最大值为，即cos?4.
我们不妨猜想：
命题 若ak?0?k?1,2,?,n?2?,则fn?证明 取正参数?1,?2,?,?n,有
a1a2?a2a3???an?1ana12?a22???an2的最大值是cos?n?1.
?1??1??1??????????a1a2?a2a3???an?1an???1a1??a??aa????aa22?3?n?1n?1?n? ??2??1???2???n?1???11?22?112?22?22???1a1??2??2?a2??????n?1?an?1?an?. 222?????1?n?1?n?2??令?1?21?112??22???11?n?22??n?12?1?n?12 （1），因求最大值，故还必须有
?1a1??1a2,?2a2??2a3,?,?n?1an?1?1?n?1an,此即?1?2a2a1,?2?2a3a2,?,?n?1?2anan?1.将上式代入（1），得
a2a1?a1?a3a2???an?2?anan?1?an?1an （2），令?1?r,则
2a2?ra1,a1?a3?ra2,?,an?2?an?ran?1,an?1?ran.观察（2）的形式，考虑作代换r?q?1q?q?C,r?R?.?a?k?2?1???ak?rak?1??q???ak?1,q???ak?qak?1?1q1q?ak?1?qak?2??3?k?n?,?ak?qak?1?
故数列
?ak?qak?1?是公比为的等比数列，
1qa?qa1??k?2?2?a11??1?q?a?qa?.于是qk?1ak?qkak?1?a1 （3）. 1??1k?2??k?1q??q??q4
再令bk?qk?1ak,则（3）为bk?q2bk?1?b1?注意b1?a1?，上式变形为
bk?b12???qb??k?11?q21?q2?b1?2?.这样，又得到一个公比为的等比数列q???2?k?1?1?q2k1?q2k?，即bk?b1?a1, 22?q1?q1?q?2n?212n12??b1?b1b1?b?,?b??b??k?k11?q2?1?q2?1?q2???ak?bkqk?1an?1?ran1?q?a1?qa????1?q?aa?故有.而 ?,a?,q?1?q?q?1?q?q?1?q?1?qa????1?1??1?q?a??q??a,故有，整理得q?1?q??q??qq?q?1?q?q?1?q????2k1k?12n?1n?22nn?12n?22n1122n?2nn?22n?12?
??1?q2n??q2?1?,化简得q2n?2?1.?q?cosm?n?1?isinm?n?1?m?Z,0?m?2n?1?.
?fn的最大值唯一，?应能求出m的一个确定的值，对于这个m的值，我们有
?fn?max?12r?a1a2?a2a3???an?1an?ana11?1?1m???q??q?q?cos.?f? n222?22?qn?1a?a???a??12n??22222222? ???2?a1a2?a2a3???an?1an?ana1???????a1?a2???a2?a3?????an?1?an???an?a1???2?a1a2?a2a3???an?1an?ana1?2?a1a2?a2a3???an?1an?ana1??1,??fn?max?1,从而m?0.又?（1）和（2）是fn取最
大值的充要条件，由（1）（2）可推得ak1?q?a?m?m?（3）.将q?cos代入（3），?isin?n?1n?1q?1?q?2k1k?12km?n?1a,?对任意1?k?n,k?Z,都有a?0,?应取m?1.至此，已推知化简得ak?km?1sinn?1sin?fn?max?cos?n?1.
22题32 已知a,b?R，且a?b?1?0，则?a?2???b?3?的最小值是 .
（第十届高二培训题第44题）
解法1 ?a,b?是直线x?y?1?0上的动点，点A?2,3?到此直线上各点距离的最小值是点
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