解法2 令r?2,x0?y0?1，满足题设.此时，直线x?y?4与圆x?y?4相离.由正确选择支的唯一性，选C.
评析 解析几何中，判断直线与圆的位置关系就看圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系：
d?r?直线与圆相离； d?r?直线与圆相切；d?r?直线与圆相交.
对于二次曲线C:f?x,y??0与点M?x0,y0?的位置关系，有下面的结论： 点M 在曲线C上?f?x0,y0??0； 点M在曲线C内?f?x0,y0??0； 点M在曲线C外?f?x0,y0??0.
所谓二次曲线内是指曲线把平面分成的两（或三）部分中含有焦点（或圆心）的部分. 以上这些就是解法1的依据.
由于是选择题，解法2运用特殊化思想求解，显得更简捷.应当指出，特殊值法（包括适当选取特殊点、特殊角、特殊函数、特殊曲线、特殊位置等）通常应是解选择题时首先考虑的方法，一旦用上，简单快捷，可以大量节省时间.
此题来源于课本上的一道习题：“已知圆的方程是x?y?r，求经过圆上一点M?x0,y0?22222的切线方程.”答案是x0x?y0y?r.
222拓展 给定圆C：x?y?r与定点M?x0,y0?，（x0?y0?0），则直线
222l:x0x?y0y?r2就是存在且确定的，它与定圆到底是什么样的位置关系呢？经研究，有下面的
结论.
结论1 若点M?C,则l与C切于点M.（这是显然的，证明略）
结论2 若点M在圆外，过点M引圆C的两条切线MT1与MT2，则x0x?y0y?r为过两切点的直线方程，因而l与C相交.
证明 设T1?x1,y1?和T2?x2,y2?是两个切点，由结论1，直线MT1与MT2的方程分别是
2x1x?y1y?r2与x2x?y2y?r2.因为它们相交于点M?x0,y0?，于是x1x0?y1y0?r2与x2x0?y2y0?r2同时成立.于是得x0x?y0y?r2表示直线T1T2的方程.l与C显然相交.
结论3 若点M在圆C内且不是圆心，以M为中点的圆的弦为AB，过A、B的两条切线相
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交于点N，则x0x?y0y?r表示过点N且平行于AB的直线方程，因而l与C相离.
证明 令N?m,n?，由结论2，直线AB的方程一定是mx?ny?r.因为M是AB的中点，
22所以mx0?ny0?r，这说明点N在直线l:x0x?y0y?r上.下面证明AB∥l.①当x0y0?0时，由于O、M、N三点共线，可知mn?0，过M、N引同一坐标轴的垂线，由点的坐标定义及直角三角形的相似关系，易知
22mx0?ny0?1??r2?r2，故AB∥l.②当x0y0?0时，由于
x0?y0?0，则有x0?0,m?0或y0?0,n?0.无论哪种情况，两直线都同时垂直于同一坐
标轴，并且在该坐标轴上截距不等.故AB∥l.此时l与C显然相离.
题38 过圆x?y?2x?6y?1?0与圆x?y?6x?6y?17?0的交点的直线方程是 .
（第二届高二第二试第15题）
22??x?2?x?y?2x?6y?1?0解 解方程组?2 ，得，故两圆相切于点（2，3），所以所?2y?3???x?y?6x?6y?17?0222222求直线方程是??x?2????y?3??0，其中?,?为参数.
评析 先通过解方程组求出两圆的交点坐标，如果交点有两个：?x1,y1?,?x2,y2?，则所求直线方程为?x2?x1??y?y1???y2?y1??x?x1?.但此题中的两圆只有一个交点?2,3?，过点?2,3?的所有直线该如何表达呢？有人表述为y?3?k?x?2?（k为参数），这就错了，因为方程
y?3?k?x?2?表示的所有直线中并不包括直线x?2（即过点?2,3?且垂直于x轴，亦即过点
?2,3?且斜率不存在的那一条）.而??x?2????y?3??0（?,?为参数）才能表示过点?2,3?的
所有直线.当??0且??0时，该直线方程就是x?2.一般地，过点?x0,y0?的所有直线组成的直线系方程为??x?x0????y?y0??0（其中?,?为参数）.
拓展 我们先看下面的问题：
求过两圆x?y?4x?4y?7?0与x?y?12x?6y?36?0的交点的直线方程. 分析：按上面评析中的思路，先解方程组得两交点坐标，再求出过这两点的直线方程为
22228x?2y?29?0.
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如果将两圆方程相减，也得8x?2y?29?0，恰好就是过两圆交点的直线方程.这是否是一
?x2?y2?4x?4y?7?0种巧合呢？非也.设两圆交于A、B两点，则A、B的坐标既是方程组??8x?2y?29?0?x2?y2?12x?6y?36?0的 解，也是方程组?的解，即A、B的坐标都适合方程
?8x?2y?29?08x?2y?29?0，故8x?2y?29?0就是直线AB的方程.
那么，当两圆外切时，两圆方程相减所得方程又表示什么样的直线呢？就拿此赛题为例，
x2?y2?2x?6y?1?0与x2?y2?6x?6y?17?0两边相减，得x?2.由图形，可知直线
道理与两圆相交时一样.当两圆内切时，此结x?2恰好是过两圆切点的公切线.这也不是偶然的，论也成立.
于是，我们有下面的 定理 已知两圆
C1:x2?y2?D1x?E1y?F1?0，C2:x2?y2?D2x?E2y?F2?0,则
⑴当两圆相切时，过切点的公切线方程是?D1?D2?x??E1?E2?y?F1?F2?0； ⑵当两圆相交时，公共弦所在的直线方程是?D1?D2?x??E1?E2?y?F1?F2?0. 题39 若实数x、y适合方程x?y?2x?4y?1?0，那么代数式——.
（第九届高二第一试第17题）
解法1 已知方程就是?x?1???y?2??4，
2222yx?2的取值范围是
y N M A -2 O 1 x yx?2?y?0x???2?，所以题意就是求圆?x?1???y?2??422上的点?x,y?与定点A??2,0?的连线的斜率的取值范围.如图,，只
须
求
切
线
AN
的
斜
率
k.易知
kAM?2?1??(0?2.?kAN?t2)3a?NAxn?tan?2?MAx??2kAM1?k2AM23?12. ?451?92??
?12???0,?. 注：切线AN的斜率k的另一种求法：设AN的方程是y?0?k?x?2?,即x?2?5?18
y则圆心M到切线AN的距离等于圆M的半径,即kx?y?2k?0，
k?1?2?2kk?12?2，解得k?0（舍去），k?125.
22解法2 已知方程就是?x?1???y?2??4，故设x?1?2cos?,y?2?2sin?,即
x?1?2cos?,y?2?2sin?,2s?i?2nkc?o?3sk?2,3k?24?4k2则即
yx?2?2?2sin?3?2cos?.令
2?2sin?3?2cos??k，得
4?4k2sin??????3k?2,sin??????3k?24?4k2.
?sin??????1,?解法3 设
?1,解得0?k?125,即
?12???0,?. x?2?5?yyx?2?k，则y?kx?2k,代入x2?y2?2x?4y?1?0并整理，得
?1?k?2x?4k?4k?2x?4k?8k?1?0.由???4k2?4k?2?
222??2?4?1?k2??4k2?8k?1??0,得0?k?125.由
x2?y2?2x?4y?1?0,即时，
?x?1?2??y?2?2f(?1?)0f,?4可知?2?x?1?2,即?1?x?3.经验证，当0?k?125?(3)且对称轴x??4k2?4k?22?1?k2????1,3?.故
?12???0,?. x?2?5?22y评析 解法1将
yx?2看作
y?0x???2?，进而看作圆?x?1???y?2??4上的动点?x,y?与
定点??2,0?的连线的斜率，将问题转化为求此斜率的范围；解法2 通过换元，将问题转化为求三角函数的值域；解法3 通过整体换元并消去y后，利用二次方程在某区间内有解的条件求出所求范围.都体现了化归转换的思想.
由于椭圆如下解法：
设
x2a2?y2b2?1?a?b?0?有性质x?y?a2?b2（请读者自证），故本赛题又有
yx?2??t，则tx?y?2t?0.已知方程就是
?1，由上面的性质，得tx?t?y?2?19
?x?1?2??y?2?2?1，则4t2?4，
?tx?t?24t2
?y?2?244t2?4，即2?3t?解得0?t?125,??12???0,?. x?2?5?y拓展 让我们进一步思考下面的问题： 1、若将题中的条件方程改为
?x?1?292??y?2?242?1,则答案是什么？
2、若将题中的条件方程改为?x?1???y?2??4,则答案是什么？ 与本赛题同样的思考方法，不难得到上面两题的答案分别是?0,???,R.
若将原题中的
yx?2改为
x?2y或
2y3x?6，结果又怎样？事实上，用同样的方法还可以求
cx?dax?b?ac?0?的取值范围.
22题40 圆x??y?1??1上任意一点P?x,y?都使不等式x?y?c?0成立，则C的取值范围是 （ ）
A、???,0? B、[2,??) C、[2?1,??) D、[1?2,??)
(第七届高二第一试第10题) 解法1 ?x??y?1??1,?可设x?cos?,y?1?sin?.于是x?y?c?0化为
22?????c?1??. cos??sin??1?c?0，即2sin??????c?1,?sin?????4?4?2???c?1?????1，解得c???1?sin?????1.?由题意得
42??22?1，故选C.
2解法2 图1、图2、图3依次表示x?y?c?0，x??y?1??1，及 y y y 2 2 x+y+c?0 l M 1 -c 1 M 1 N --c x 0 -c 0 0 x x 图 1 图 2 -c 图3 20
?x?y?c?0的图象.在图3中，直线l:x?y?c?0过Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限，切圆M于N，这?22??x?y?1?1?时圆M上所有的点（N点除外）都在l的上方，因而圆M上N点以外的点的坐标?x,y?都使
x?y?c?0成立，而N点坐标使x?y?c?0成立，结合题意，易求得此时的?c?1?2,c?2?1，故当?c?1?2，即c?，2?1时，圆M都在l的上方（含相切）
因而圆M上的点的坐标?x,y?可使不等式x?y?c?0成立，故选C.
解法3 x??32,y?12满足x??y?1??1，此时，若c?0，则x?y?c?0不成立，
22故排除含0的A、D；若c?1，则x?y?c?0成立，又排除不含1的B，故选C.
评析 从代数角度看，x?y?c?0，即c???x?y?恒成立，有c????x?y??max，因此
2问题的关键就是如何求???x?y??max.由于?x,y?满足x??y?1??1，故解法1运用三角代换
2将问题转化成求三角函数的最大值问题，通过三角函数的有界性使问题获解.
从几何角度看，原问题的实质就是c在什么范围内时，才能保证圆x??y?1??1在直线
22x?y?c?0的上方（相离或相切）.解法2便是运用数形结合思想，直观地解决问题的.
由于是选择题，解法3运用特殊值排除干扰支，从而选出正确答案，这种抓住题目本质特征，避开常规思路的创新解法更值得提倡.
拓展 按照上面所说的思想方法，请读者思考并解决下列问题：
⒈ 圆x??y?1??1上任意一点P?x,y?都使不等式x?y?2x?8y?17?c?0成立，
2222求c的取值范围. （答案：c?226?27）
⒉ 圆x??y?1??1上任意一点P?x,y?都使不等式x?y?2x?2y?1?2c?0成立，
2222求c的取值范围. （答案：c?
52?5）
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