A到该直线的距离d?22?3?12222?32，???a?2???b?3???d2?18.
??min解法2 ?a?2???b?3??11222?2??a?2???b?3????a?2?b?3?
?22??12?a?b?1?6??2212?0?6??18.当a?2?b?3，即a??1,b?0时取等号.?所求最小值
21?122a?2???b?3???12?12???a?2?1?b?3?1??????? ?2?2?a?2b?3，即a??1,b?0时取等号.?所求最小值?18.当?1122为18.
解法3 ?a?2???b?3???12?a?2?b?3?2?12??6?2为18.
222解法4 ?2??a?2???b?3???? a?2?b?3?a?2?b?3?a?b?5???????????????????22??a?b?1?，??a?2???b?3??22212?a?b?5?2?12?a?b?1?2?12?a?b?5?22?122(a?b
?1?6)2?值为18.
12当a?b?1?0,即a??1,b?0时取等号,??a?2???b?3?的最小???6??18．
2解法5 ?a?b?1?0,?b??a?1,??a?2???b?3???a?2????a?4??2a?
222224a?20?2?a?1??18.?当a??1时，?a?2???b?3?有最小值18.
解法6 设?a?2???b?3??t?0,又设a?2?22222tcos?,b?3?tsin?,则a?
tcos??2,b?tsin??3,由a?b?1?0,得tcos??tsin??6?0,即2tsin(???4)
?6?0.??2t?2tsin(???6?0??4)?2t,??2t?6?2tsin(??22?4)?6?2t?6,即?2t
2t?6,解得t?18.??a?2???b?3?的最小值为18.
?????????2?2解法7 构造向量x??1,1?,y?(a?2,b?3),?x?y?x?y?cos??x?y,?x?y
2??2222?x?y,即12?12???a?2???b?3???? 1?a?2?1?b?3?a?b?5???????????????a?b?1?6??36,??a?2???b?3??18.?222当且仅当a??1b,?时，
?a?2?
2??b?3?取得最小值18.
26
评析 因为已知a?b?1?0, 所以要求?a?2???b?3?的最小值，关键就是得到
22?a?2?2??b?3?与关于a?b的式子之间的大于等于关系.解法2利用2?a2?b2???a?b?,22解法3利用柯西不等式a?b?22??c2?d2???ac?bd?,解法4巧妙地利用配方法，都顺利地解
2决了这一关键问题.解法5则是把b??a?1代入所求式，使之变为关于a的二次函数，再求其最小值，是函数思想的具体运用.解法6设?a?2???b?3??t后，运用三角代换，最终转化成解关于t的不等式，是等价转化思想在解题中的一次妙用.解法7通过构造向量，利用x?y?x?
22????2?2??2?y,即x?y?x?y使问题获解，充分发挥了新教材中向量这一工具在求代数最值中的作用.
应当指出，许多最值问题都可以通过构造向量，利用向量的上述性质得到解决.而解法1则是将
?a?2?2??b?3?看作定点A?2,3?与直线x?y?1?0上的动点的距离的平方，故能直观地知
2道点?2,3?到直线x?y?1?0的距离的平方就是所求的最小值，简洁明了，充分显示了等价转化与数形结合思想的威力.
拓展 将此赛题一般化，便得下面的
定理 若x,y满足Ax?By?C?0（A、B、C是实常数，A、B不全为零），m，n是实常数，
则?x?m???y?n?的最小值是
22?Am?Bn?C?A?B222.
2证明 ?x?m???y?n?22?????x?m?2??y?n?2?，表示定点m,n与直线Ax?By?
????,??x?m???y?n?的最小值是
22C?0上的动点之间的距离d的平方.?d?Am?Bn?CA2?B2?Am?Bn?C?A?B222.
运用该定理解本赛题：?A?B?C?1,m?2,n?3,?所求最小值是 下面的题目供读者练习：
1.已知x，y满足x?2y?4?0，求?x?3???y?2?的最小值.
22(1?2?1?3?1)21?122?18.
7
2.已知p,q?R，且2p?3q?6?0，求?p?1???q?3?的最小值. 3.已知m,n?R，且3m?2n?12?0，求答案 1.5 22?m?2?2??n?3?的最小值.
2 2.13 3.241313
22题33 实数x，y满足方程x?y?6x?4y?9，则2x?3y的最大值与最小值的和等于_______.
（第十届高二第二试第17题）
解法1 题设方程就是(x?3)??y?2??4，设?22?x?3?2cos??y?2?2sin?，即??x?3?2cos??y??2?2sin?,
则2x?3y?2(3?2cos?)?3(?2?2sin?)?4cos??6sin??12
?213cos(???)?12(tan??32)，?(2x?3y)max?12?213，
(2x?3y)min?12?213.?(2x?3y)max?(2x?3y)min?24.
解法2 题设方程就是(x?3)??y?2??4，根据柯西不等式，
22[2(x?3)?(?3)(y?2)]2?[22?(?3)2][(x?3)2?(y?2)2]?13?4?52，即
(2x?3y?12)2?52,??52?2x?3y?12?52,12?52?2x?3y?12?52, ?(2x?3y)max?(2x?3y)min?(12?52)?(12?52)?24.
解法3 题设方程就是(x?3)??y?2??4，结合u?2x?3y， 又配方
2213[(x?3)2?(y?2)2]?(2x?3y?12)2?(3x?2y?5)2，于是13?4?(2x?3y?12)2，
即12?52?2x?3y?12?52 .
52)?(12?52)?24.
?(2x?3y)max?(2x?3y)min?(12?解法4 设u?2x?3y，则y?23x?u3，代入x?y?6x?4y?9，整理得
2213x2?(4u?30)x?u2?12u?81?0，?x?R， ???(4u?30)2?4?13?(u2?
12u?81)?0，即u2?24u?92?0，解之得12?52?u?12?52.
8
?(2x?3y)max?(2x?3y)min?(12?52)?(12?52)?24.
解法5 已知等式(x?3)??y?2??4表示一个圆，令2x?3y?t，即2x?3y?t?0，
22表示一直线，若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离应小于等于圆的半径，即
|2?3?3?(?2)?t|3?(?2)22?2，即|12?t|?213，解得12?52?t?12?52，
?(2x?3y)max?(2x?3y)min?(12?52)?(12?52)?24.
解法6 已知方程就是(x?3)??y?2??4，构造向量a?(2,?3)，b?(x?3,y?2).
22???|a?b|?||a|?|b|cos?|?|a|?|b|，?|a?b|?|a|?|b|2 ，即
????????2?2??2(x?3)?3(y?2)?2??,
2?(?3)于
22???是
2(x?3)?(y?2),
22?2?13?4?52.即 ?2x?3y?12?52，
(2x?3y?12)2?5212?52?(2x?3y)max?(2x?3y)min?(12?52)?(12?52)?24.
评析 因为已知方程就是(x?3)??y?2??4，而要求的是一次式2x?3y的最大值与最
22小值的和，所以解法1运用三角换元，将问题转化为求三角函数的值域，这是解决这类问题的通法，已知方程表示椭圆时，此法仍然适用.解法2运用柯西不等式求解，之所以凑成
[2?(x?3)?(?3)?(y?2)]2，是因为这样才会出现2x?3y，并可利用(x?3)2??y?2??4.
解法3运用的是配方法，请读者思考为什么如此配方：
213[(x?3)2?(y?2)2]?(2x?3y?12)2?(3x?2y?5)2?解法4运用的是待定参数法及方程
思想，也是解决这类问题的通法.解法5运用数形结合思想，将抽象的代数问题转化成直观的几何问题，轻松解决问题.解法6通过已知方程(x?3)??y?2??4联想到向量模的平方，从而通过
22构造向量，运用|a?b|?|a|?|b|解决问题，思路清晰，体现了向量在解题中的工具作用.
拓展 将此赛题一般化，便得
命题1 实数x,y满足(x?m)??y?n??r(r?0),，实数p,q不全为零，则
222??2?2?2(px?qy)max?(px?qy)min?2(pm?qn).
证明 设px?qy?u，即px?qy?u?0①，又已知(x?m)??y?n??r②，由题意，
222 9
直线①与圆②有公共点，故圆心(m,n)到直线①的距离小于等于圆的半径r，即
|pm?qn?u|p2?q2?r，即|u?(pm?qn)|?rp2?q2，??rp2?q2?u?(pm?qn)
?rp2?q2,即?rp2?q2?pm?qn?u?rp2?q2?pm?qn，?(px?qy)max ?(px?qy)min??rp2?q2?pm?qn?rp2?q2?pm?qn?2(pm?qn).
将命题1中的圆改为椭圆，又得 命题2 实数x,y满足
(x?m)2a2?(y?n)2b2?1(a,b?0,a?b)，p,q不全为零，则
(px?qy)max?(px?qy)min?2(pm?qn).
证明 设x?m?acos?，y?n?bsin?即x?m?acos?,y?n?bsin?,?px?qy
?p(m?acos?)?q(n?bsin?)?pacos??qbsin??pm?qn ??pm?qn?[?p2a2?q2b2?pm?qn,p2a2?q2b2cos(???)
p2a2?q2b2?pm?qn]，（其中tan??qbpa）.
?(px?qy)max?(px?qy)min?2(pm?qn).
题34 线段AB的端点坐标是A（-1，2），B（2，-2），直线y=kx+3与线段AB相交的充要
条件是 （ ）
A、?52?k?1 B、1?k?52 C、?55?k?1且k≠0 D、k??或k?1 22（第八届高二培训题第2题）
，即4x+3y-2=0
y M A 3 解法1 线段AB的方程为
y?22?2?x?2?1?2?y?kx?37(-1≤x≤2),由?，得x??，令-1≤
4x?3y?2?04?3k??74?3k≤2，解得k??52或k?1，选D.
52-3 ,
解法2 如图1所示，y=kx+3是过定点M（0，3）的直线
O -2 系方程，易求得直线MA、MB的斜率分别是kMA?1,kMB??2 B x 当直线MA绕点M逆时针旋转与线段AB相交时，其斜率由1
增加到+∞；当直线MB绕点M顺时针旋转与线段AB相交时，
图1
10