武夷学院 毕业设计(论文)
矩阵的分块及应用
院 系 ： 专业（班级）： 姓名： 学号: 指导教师： 职称： 完成日期：
数学与计算机系 计算机科学与技术
陈航 20073011014 魏耀华 教授
年 月 日
武夷学院教务处制
摘 要
矩阵分块，就是把一个大矩阵按照一定规则分成小矩阵，它是矩阵运算的一种常用技巧与方法。分块矩阵的理论不但在工程技术和实际生产中有着广泛的应用，而且在线性代数中求矩阵乘积、行列式的值、逆矩阵、矩阵的秩和矩阵的特征根的过程中也起到重要作用。分块矩阵的初等变换则是处理分块矩阵有关问题的重要工具，它在线性代数中有非常广泛的应用。本文讨论了分块矩阵的概念、分块矩阵的运算、分块矩阵的性质以及分块矩阵的广义初等矩阵，归纳并提出了分块矩阵的一些应用，这些应用主要涉及到矩阵的秩，逆矩阵，行列式以及矩阵正定和半正定等方面。 通过引用了大量的实例说明了对矩阵进行适当分块可以使高等代数中的许多计算与证明问题迎刃而解。
关键词: 分块矩阵；初等变换；计算；逆矩阵；证明。
I
Abstract
Partitioned matrices mean dividing a big matrix into the small matrices
according to the certain rule. It is a common technique and method in matrix operation. The theories of partitioned matrices have not only a wide range of applications in engineering and production, but also play an important role to the process for seeking matrix product and the value of determinant and inverse matrix and rank of matrix and the characteristic in linear algebra. Elementary transformation of partitioned matrices is an important tool to deal with the partition matrix. Also, it is very important for linear algebra. The paper discussed the concept of the partition matrix and the operation of the partition matrix and the property of the partition matrix and the block-elementary matrix. Then it summarized some applications of the partition matrix. Those applications were relative to the rank of matrix and inverse matrix and determinant and positive definite matrix and positive semi-definite matrix etc. By quoting a number of examples we could get that its convenientto solve many problems about calculation and provement by using block matrices.
Key words: partitioned matrices; elementary transformation; caculate; inverse matrix; prove。
II
目 录
1 概 述 ..................................................... 1 2 分块矩阵及其性质 ............................................... 3
2.1分块矩阵 .................................................... 3 2.1.1 分块矩阵的定义 ............................................. 3 2.1.2 运算规则 .................................................. 3 2.2分块矩阵的性质及其推论 ........................................ 3 3 分块矩阵在证明方面的应用 ........................................ 7 3.1分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用 ............................. 7 3.1.1分块矩阵在矩阵乘积秩的证明中的应用 ............................ 7 3.1.2分块矩阵在其他相关矩阵秩的证明上的应用 ......................... 8 3.2分块矩阵在线性相关性及矩阵的分解中的应用 ........................ 10
3.2.1关于矩阵列(行)向量线性相关性 ................................. 10
3.2.2矩阵的分解 .............................................. 11 4 分块矩阵在计算方面的应用 ...................................... 13 4.1 分块矩阵在求逆矩阵方面的应用 .................................. 13 4.2 分块矩阵在行列式计算式方面的应用 .............................. 16 4.2.1矩阵A或B可逆时行列式|H|的计算 .............................. 16 4.2.2矩阵A?B,C?D时行列式|H|的计算 ............................. 19
结 论 ....................................................... 21 谢 辞 ....................................... 错误！未定义书签。
参考文献 ...................................... 错误！未定义书签。
III
矩阵的分块及应用
1 概 述
矩阵作为重要的数学工具之一，有极其实用的价值。矩阵的相关理论和应用，常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等[1]。在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛况表格等。矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，而矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去深入探讨和研究。其中，级数较高矩阵的处理是矩阵的相关内容中重要的一部分，当矩阵的行数和列数都相当大时,矩阵的计算和证明中会是一很烦琐的过程,因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好、更简洁的解决，矩阵分块的思想由此产生。分块矩阵形象的揭示了一个复杂或是特殊矩阵的内部本质结构。本文即是通过查阅相关文献和学习相关知识后分析、探讨分块矩阵的相关理论，以实例讨论和研究其在计算和证明两大方面为主各方面的广泛应用。.
1.1矩阵的分块 简介
它是把矩阵分别按照横竖分割成一些小的子矩阵，然后视每个小矩阵为矩阵的一个元素，这样的矩阵称为分块矩阵。
分块矩阵是一个矩阵。分块矩阵的运算，仍满足矩阵的乘法和加法。
任何方阵都可以通过相似变换， 变为约当标准型。 约当标准型是最熟知的分块矩阵。
如果分块矩阵的非零子矩阵都在对角线上，就称为对角分块矩阵。 在已有的相关文献中，分块矩阵的一些应用如下：
（1）利用分块矩阵，可以从行列式的性质出发 , 推导出分块矩阵的若干性质 , 并举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用 .
（2）利用分块矩阵，可以简化很多有关矩阵性质的证明。
分块矩阵在线性代数中是一个基本工具， 研究许多问题都要用到它.借助分块矩阵
?AB?的初等变换可以发现分块矩阵在计算行列式、 求逆矩阵及矩阵的秩方面的应用.如：设M????CD?是一个四分块n阶矩阵，其中A、B、C、D分别是r?r 、
?1CABMADr?(n?r)、(n?r)?r、? (n?r)?(n?r)阶矩阵 ，若A可逆，可证－，另
BD?1CMD?若D可逆, 则可证得-．
（3）利用分块矩阵，可以通过论述证明矩阵的分块在高等代数中的广泛应用 ,包括用分块矩阵证明矩阵乘积的秩的定理问题 ,用分块矩阵求逆矩阵的问题 ,用分块矩
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