即得,
A?RS.
矩阵的列（行）向量相关与无关性的问题很显然都会涉及到利用矩阵分块，因为矩阵的列（行）都可看作是矩阵的子块，对于处理矩阵的分解问题也是一样，在线性代数中还有很多问题都可类似的通过分块矩阵来解决.
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第4章 分块矩阵在计算方面的应用
4.1 分块矩阵在求逆矩阵方面的应用
?AB?命题1[10] 设P??是一个四分块方阵，其中B为r阶方阵, C为k阶方阵,当??CD?B与(C?DB?1A)都是可逆矩阵时，则P是可逆矩阵，并且
P?1??(C?DB?1A)?1DB?1???1?1?1?1?1?B?BA(C?DBA)DB?(C?DB?1A)?1?
?B?1A(C?DB?1A)?1??1特例 ?1? 当A?0，D?0，B与C都可逆时，有P?0C?1????1?.
0??B??C?1DB?1C?1???? ?1B0???0???1?BC?1? ?1?1??BAC? ?2? 当A?0，D?0，B与C都可逆时，有P?1 ?3? 当A?0，D?0，B与C都可逆时，有P?1证明 设P可逆，且P?1?X???ZY?，其中Y为k阶方阵，Z为r阶的方阵.则应有W??Y?W???AB??CD??E ???XP?1P???Z即
?XA?YC?ZA?WC?于是得到下面的等式
XB?YD??Ek??ZB?WD???00?， Er??(4.1)(4.2)(4.3)(4.4)
?XA?YC?Ek??XB?YD?0??ZA?WC?0?ZB?WD?E?r因为B可逆，用B?1右乘?4.2?式可得
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X?YDB?1
代入?4.1?式得
Y?(C?DB?1A)?1
则
X??(C?DB?1A)?1DB?1.
用B右乘?4.4?式可得
Z??Er?WD?B?1?B?1?WDB?1
代入?4.3?式得
W?B?1A(C?DB?1A)?1
则 可得
Z?B?1+B?1A(C?DB?1A)?1DB?1.
所以
P?1?X???ZY?W????(C?DB?1A)?1DB?1??1?1?1?1?1?B?BA(C?DBA)DB?(C?DB?1A)?1. ?1?1?1??BA(C?DBA)??AB?命题2 设Q???是一个四分块方阵，其中A为r阶方阵，D为k阶方阵，当CD??A与（D?CA?1B）都是可逆矩阵时，则Q是可逆矩阵,并且
?A?1?A?1B(D?CA?1B)?1CA?1?AB???Q=???(D?CA?1B)?1CA?1??CD??1?1?1?A?1B(D?CA?1B)?1?? ?1?1(D?CAB)??A?1特例 （1） 当B?0，C?0，A与D都可逆时，有Q???0?A?1 （2） 当B?0，C?0，A与D都可逆时，有Q???0?1?10? ?1?D??A?1BD?1?? ?1D?0?. ?1?D??A?1 （3） 当B?0，C?0，A与D都可逆时，有Q???1?1??DCA此结论参考命题1.
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7?410??3??2?590?1???0?100?，求M?1. 例1 设M??0??00040???000?6??0??00?7??3??410??00?，D???解 令A??，，BC??90?1?????2?5?????00??则很容易求得
A?1??100??040?. ????00?6??7??5??，D?1????2?3?0???10?01/4? 0???0?1/6??0?且
7??5?A?1BD?1?-????2?3?由命题2可得，
??410??90?1?????100??040???43?5/4?7/6? ????191/21/2?????00?6??M?1?A?1???O743?5/4?7/6??5??2?3?191/2?1/2??A?1BD?1??0?100? ???0?1D???0001/40???000?1/6??0??0?0?例2 求矩阵M??4??0??00002300004130002?5??0?的逆矩阵. ?0?0???400??12??000??解 设A??，，C??020?，D?B??????35??000???034??则
B?1?00??00?. ????00??00??1/4??52??1?0? ???C，1/20????3?1???0?3/81/4??15
由命题一可得：
?OM?1???1?B01/400??0?0?001/20?C?1??00?3/81/4?. ???0O????52000???00??3?10?本节主要讲述了欲求一个矩阵的逆矩阵，先将该矩阵分成四小块A、B、C、D，在根据该四小块的具体情况推导出了求这个矩阵的逆矩阵的公式.这里我们重点的区别
A、B、C、D中那些可逆那些不可逆,再具体运用.
4.2 分块矩阵在行列式计算式方面的应用
在线性代数中 ,分块矩阵是一个十分重要的概念 ,它可以使矩阵的表示简单明了 ,使矩阵的运算得以简化. 而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题. 而事实上 ,利用分块矩阵方法计算行列式 ,时常会使行列式的计算变得简单 ,并能收到意想不到的效果[11]. 本节给出利用分块矩阵计算行列式的几种方法.
引理 设矩阵
?A1?OH??????OA2?OA????或H?????As???A1??????AO?O?? ?????As??A2O其中A1,A2,?,As均为方阵，则
H?A1A2?As.
4.2.1矩阵A或B可逆时行列式|H|的计算
命题 1 A、B分别为m与n阶方阵. 证明 : (1)当A可逆时 ,有
ADC
B
?AB?CA?1D ?4.5?
(2)当B可逆时 ,有
ADC
B
=A?DB?1CB ?4.6?
证明 根据分块矩阵的乘法 ,有
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