?E??CA?1?0??AD??AD? ??????1?E??CB??0B?CAD?由引理知，两边取行列式即得?4.5?.
?2? 根据分块矩阵的乘法 ,有
?E?DB?1???0E???AD??A?DB?1C?CB???C???0?? B?两边取行列式即得?4.6?.此命题可以用来解决一些级数较高的矩阵求逆问题，但在利用命题1时,要特别注意条件有矩阵A或B可逆，否则此命题不适用，下面给出此命题的应用.
推论1 设A,B,C,D分别是m,n,n?m和m?n矩阵. 证明
EmCDB?B?CD ?4.7?
AD?A?DC ?4.8?
CEn证明 只需要在命题1的?4.5?中令A?Em, 即得?4.7?;在?4.6?中令B?En,即得
?4.8?.
推论2 C,D分别是n?m和m?n矩阵.证明
EmCD?En?CD?Em?DC ?4.9? En证明 在推论1的?4.7?中,令B?En,在?4.8?中,令A?Em,即得?4.9?. 例3 计算下面2n阶行列式
a??adc?c解 令
dH2n?b?b?a?0?
c??a??b???,B????，C????，D??A????????????a?b??????c?
17
d????? ?????d?
为n阶方阵.由于a?0,故A为可逆方阵.又易知
?b?ca?1d?B-CA?1D????????b?ca?1d?
???b?ca?1d??从而由命题1中?1?得
HAD2n?CB ?AB?CA?1D ?an(b?ca?1d)n=(ab?cd)n.
例4 计算行列式 a011?11a10?0?1?10a2?0,(ai?0,i?1,2,?,n);
?????100?an100?0a1010?0a2?2?001?0a3??????
000?1anb1b2b3?bnc解 ?1? 设Q?ADC
B
，其中
??a1?A??aa?20?,B??????，C?(1,1,?,1)T，??a?n?因为ai?0,i?1,2,?,n所以B是可逆矩阵.又易知
A?DB?1C??n???a0??1/aii?1??
从而由命题1中的结论?4.2?得
18
D?(1,1,?,1).
ADC
B
?A?DB?1CB
n???a1a2?an?a0??1/ai?
i?1??（2）设Q?EnCD，其中 BB?（c），C?(b1,b2,?,bn)，D?(a1,a2,?an)T
由于
CD?(b1,b2,?,bn)(a1,a2,?an)T
??aibi
i?1n从而由推论1知,
EnQ?CnD?B?CD?c??aibi. Bi?14.2.2矩阵A?B,C?D时行列式|H|的计算
命题 2 A,C是两个n阶方阵.则
AC?|A+C||A-C| CA证明 根据行列式的性质和定理，有
ACA?CCA?C??CAC?AA0C A?C ?A?CA?C. 例1 计算行列式.
0xyzx0zy D?yz0xzyx0解 这道题看似简单 ,但如果方法选择不好,做起来并不轻松. 这里设
?0x??y?，A??C??zx0???
19
z? ?y?
由命题2知
AC?A?CA?C D?CA ?yx?zx?z?yyx?zx?z ?y ?[y2?(x?z)2][y2?(x?z)2]
?(x?y?z)(?x?y?z)(x?y?z)(?x?y?z)
行列式的计算是线性代数中的一个重要内容,本节就行列式的计算问题具体就形如
H?AD
（A,B,C,D分别是m,n,n?m和m?n矩阵）的类型的行列式计算进行了分析，CB
其中将一个行列式分块成A,B,C,D后，又细分为几种情况进行了讨论，依据不同的情况给出了不同的计算方法，在计算行列式时可根据这几种不同的情况具体问题具体对待，从而简化行列式的计算过程.在这一部分可见，利用分块矩阵计算行列式主要是靠分块矩阵来改变原来矩阵的级数从而达到简化计算过程，快速解决问题的目的.
20
结 论
本文通过大量的例题对分块矩阵在计算与证明两方面的应用进行了总结分析，在证明方面，涉及了矩阵秩的相关问题以及矩阵列(行)向量线性相关性等问题，在证明线性相关问题上，利用分块矩阵可以很清晰地描述线性方程组的解与其相关内容，对一些具体的解与矩阵行（列）向量组线性相关性之间的关系给出了结论；在计算方面利用分块矩阵这一工具我们主要解决了求逆矩阵与求高级行列式的问题，在求逆矩阵方面，本文着重论述了将一个高级矩阵进行矩阵分块分成二级矩阵后，通过讨论四子块的各自特点来求原矩阵逆矩阵的快捷方法，并且给出了求解具有特殊性质行列式的方法.通过本文的论述，充分体现了分块矩阵在代数计算与证明方面所具有的一定的优越性，也给出了分块矩阵和矩阵分块在代数学中所具有的重要地位，当然在对分块矩阵的应用的论述上本文并不是所有类型的证明与计算都进行了讨论，所以在应用的完整性上还有待改进，并可以继续进行研究探讨.
21