第3章 分块矩阵在证明方面的应用
3.1分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用
3.1.1分块矩阵在矩阵乘积秩的证明中的应用
定理 1 秩?AB?≤秩?A?,且秩?AB?≤秩?B?,则秩?AB?≤min{秩A,秩B}[4] 证明 令Cm?s=Am?n?Bn?s，A??a1,a2?an?,C???1,?2??s? 则
(?1,?2??s)??a1,a2?an??b11b12?b?21b22?????bn1bn2?b1s??b2s?? ?????bns?∴
?1?b11a1?b21a2???bn1an?2?b12a1?b22a2???bn2an???s?b1sa1?b2sa2???bnsan
∴?1,?2??s?1?可由a1,a2?an?2?线性表示 ∴秩?I?≤秩?II?,即秩?C??秩?AB?≤秩?A? 令
?n1??n?2C???，Ｂ???????nm?所以
??1?????2? ???????n??a1n???1?????a2n???2?
??????????amn???n??n1??a11?n??a?2???21?????????nm??am1即
a12a22?am27
?1?a11?1?a21?2???an1?n?2?a12?1?a22?2???an2?n???s?am1?1?am2?2???amn?n
∴?1,?2??m?3?可由?1,?2??n?4?线性表示 ∴秩?III??秩?IV?,即秩?C??秩?AB??秩?B? 即秩?AB??min{秩?A?，秩?B?}
定理 2 设A、B都是n级矩阵，若AB?0则秩?A??秩?B??n[5]. 证明 对B分块如下:
B??B1B2?Bn?
由于
AB?0
即
?AB1AB2?ABn??0
即
ABi?0?i?1,2,?,n?
说明B的各列Bi都是AX?0的解.从而
秩?B1B2?Bn??基础解系?n?秩?A?
即
秩?A??秩?B??n
3.1.2分块矩阵在其他相关矩阵秩的证明上的应用
例1 设A、B都是n阶矩阵,求证:秩?AB?A?B??秩?A?+秩?B?[6] 证明 因为
??AAB?A?B??AAB?A??OB????????????????E?(2)?(1)???OB??(1)?????????????????????(?B?E)?(2)??A?O所以
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O?B? ?
?E?E??A?OE??O???因为
AB?A?B??B??E?B?E??AO?=? ?E??E??OB???E?E??E?B?E??OE?，?E?都可逆 E????所以
?A秩??O而
AB?A?B??AO?=秩 ???B??OB??A秩??OAB?A?B???秩?AB?A?B? B??AO?秩?=秩A+秩B ??OB?所以
秩?AB?A?B?≤秩?A?+秩?B?
例2 设A为m?n矩阵,As是从A中取s行得到的矩阵,则
[7]
秩?As??秩?A??s?m
证明 不妨设As是A的前行,而后m?s行构成的的矩阵为B,则
?A??A??0?A??s???s????
?B??0??B?又显然有
秩?A?B??秩?A?+秩?B?
于是
?A??0?秩?A??秩?s?+秩???秩?As??m?s
?0??B?证毕.
利用分块矩阵证明矩阵秩的问题，一般采用两种方法，一是利用已知矩阵作为元素来拼成高级数的矩阵来证明，如例1；另一种方法是将已知矩阵拆成低级数的矩阵来证明，如例2.这两种方法在证明矩阵的秩的问题时都是很有效的，很大一部分相关矩阵秩的问题都可以用分块矩阵来证明.
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3.2分块矩阵在线性相关性及矩阵的分解中的应用
分块矩阵在线性相关性及矩阵的分解中的有着广泛的应用，欲透彻掌握达到运用自如却非易事.其基础知识抽象，解题方法技巧性强，稍有不慎就会陷入困境.作为线性代数的一个重要内容和工具的矩阵，我们大家往往容易忽视它重要的一点---矩阵分块的作用.本节就谈谈它在线性相关性及矩阵的分解证明中的应用.
3.2.1关于矩阵列(行)向量线性相关性
命题1[8] 矩阵A的列线性无关的充分必要条件是AX?0只有零解. 证明 令A??A1,A2?,Ak?,其中Ai?i?1,2???,k?,是A的列向量，且
a1A1?a2A2???akAk?0?ai为实数i?1,2,???,k?即
?A1,A2,?,Ak?也即
?a1??a??2??0 ??????ak??a1??a?A?2??0 ??????ak?若A1,A2?,Ak线性无关,则有a1=a2???ak?0,AX?0只有零解，反之亦成立.
例3 矩阵B列线性无关,BC?A求证:C列线性无关的充要条件是A列线性无关. 证明 充分性.要使CX?0,即B?AX??0，记AX?Y,则BY?0, ∵B列无关，须
Y?0,即AX?0,又A列无关，须X?0，从而C列无关.
必要性.要使AY?0，两边左乘B，则BAY?0，即CY?0，∵C列无关，∴Y?0，从而A列无关.
推论 设Ank?0， (1)A的列线性相关(即??A??k)的充要条件是存在Bkm≠0,使AB?0; (2)Ank的行线性相关(即??A??n)的充要条件是存在C≠0,使CA?0.
证明 （1）???设有Bkm?0，B?(b1,b2,?,bm),bi为B的列向量,i=1,2,?,m,且
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bj?0，使AB=0，即（Ab1,Ab2,?,Abm）?0，∵bj?0，而啊bj?0,由命题1，A的列线性相关.
???设
A的列线性相关.由命题1，存在b?0使Ab?0，作B?（b,0,?,0），则
B?0，故AB?0.
类似可证(2).
3.2.2矩阵的分解
命题 2[9] 设?(Ank)??, （1）?Mn?,N?k,?(M)??(N)???,使则A?MN; （2）?Rnk,Skk,?(R)??(S)??,使则A?RS; （3）?Rnn,Snk,?(R)??(S)??,使A?RS.
证明 Pnn,Qkk,P?0,Q?0,使
?IPAQ????00? ?0?nk?I∴A?P?1???0（1）将P?1与Q?1作如下分块:
0??1Q ?0??N?P?1??Mn?,L?，Q?1???k?
?H?则
?IA??M,L????0?I（2）令Pnn?P?1???0?I令Pnn?P?1???0（3）因为
0??N??H??MN ?0???0??I??0??nk?00? 0??kk0??I?，∵?00???nn0??I???0??nk?00??I??S，kk?00??nk?0??1Q即得 , ?0?kkA?RS
?I??0?
0??I???0??nk?00?0??nn?I??0?11
0??I??S,nk?00??nk?0??1Q ?0?