阵求矩阵的行列式的问题 ,用分块矩阵求矩阵的秩的问题 ,利用分块矩阵证明一个矩阵是零矩阵的问题等.如用分块矩阵证明矩阵乘积的秩的定理：已知秩?AB?≤秩?A?,且秩?AB?≤秩?B?,可证得秩?AB?≤min{秩?A? ,秩?B?}.
AAB（4）利用分块矩阵，可以求高阶行列式.如设A、 C、 都是 n阶矩阵, 其中?0,
?AD?BCAD并且AC?CA,则可求得CD.
（5）利用分块矩阵，可以给出利用分块矩阵计算行列式的
H?C
B不同方法，
可分几方面讨论，如当矩阵A或B可逆时；当矩阵A?B,C?D时；当A与C或者B与
C可交换时；当矩阵H被分成两个特殊矩阵的和时的行列式的计算.
分块矩阵有非常广泛的应用，特别利用分块矩阵证明诸多问题将会显得非常简洁，而且方法也比较统一，有其独特的优越性.
本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算与证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题可以带来的很大的便利.
2
2 分块矩阵及其性质
2.1分块矩阵
2.1.1 分块矩阵的定义
?A11A12?A1t??A?A?A21222t?????? ?用纵线与横线将矩阵A划分成若干较小的矩阵：??As1As2?Ast??
?2.1?
其中每个小矩阵 快矩阵[2].
2.1.2 运算规则
?1? (Aij)st?(Bij)st?(Aij?Bij)st ?2? (Aij)Tst?(AjiT)ts tAikBkj(i?1,...s,j?1,...t)?3? (Aij)st(Bij)tp?(Cij)sp，Cij??k?1 ?4? k(Aij)st?k(Aij)st(k是数量) 在用规则1）时，A与B的分块方法须完全相同；用性质3）时，A的列的分法与B的行的分法须相同.
2.2分块矩阵的性质及其推论
在行列式计算中 ,我们经常用到下面三条性质[3]:
Aij(i?1,?s;j?1,?t.)叫做A的一个子块；分成子块的矩阵叫做分
?1? 若行列式中某行有公因子 ,则可提到行列式号外面;
?2? 把行列式中的某行乘上某一个非零数 ,加到另一行中去 ,其值不变; ?3? 把行列式中的某两行互换位置 ,其值变号;
利用矩阵的分块 ,我们可以把行列式的三条性质在分块矩阵中进行广. ?A1A2A3??BBB?性质 1 设方阵A是由如下分块矩阵组成 23??1?CC2C3?? A??1?2.2?
其中 A1,A2,于矩阵
3
A3B1B2B3C1C2C3,,,,,,都是s?t矩阵 ,又M是任一s级方阵 .对
?A1?MB?1?C B??1则
B?MA 0??A1A2A3??Es0?0E??BBB?M0ss2 ,则3? 证明 ?设为级单位矩阵??1?00Es????C1C2C3???B??E00s于是 0B?0A2MB2C2A3?MB3??C3?? ?2.3?
?Es?0???00M00?0??AEs??
0EsA?EsMEsA?MA?A1A2 A3??BBB?性质 2 设矩阵A是由如下分块矩阵组成2 3??1?CC2C3?? A??1M0?2.4?
AB2,B3,C1,C2,C3都是s?t矩阵 ,又M是任一s阶方阵 .其中 A1 ,A2,?3,B1,AA2A3?1?B?MCB?MCB?MC?D?23对于矩阵 ?1???C1C2C3?? ?2.5?
则
AD?Es?0 0??A1A2A3??0E??BBB?0证明 由 s2AA23?????11???0?0MCEs?CBC12C23??B3???B?MC1 ??C1C2???MC???C3?
A3E 其中 s是s级单位矩阵 ,对上式两边同时取行列式得 A?D?A1 A2A3??B1B2B3??B??'B3?AAAAA性质? 31 B设方阵和写成如下形式2123???
?C1C2C3??,A'???C1C2C3?? A??AsBC3为偶数时|AA2|,当1 ,其中 A?,,B1,B2,3,C1,C2,3都是 s ×t 矩阵，则
?'?|A|，当s为奇数时|A|??
'BA证明 A可由A中的B1,B2,3与A1,A2,3相应的两行对换而得到 ,而对换行
列式的两行 , 行列式反号 ,故当s为偶数时
'A|A|?
当s为奇时 'A|A|?-
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可以证明 ,对于一般分块矩阵也具有类似性质.同时 ,这些性质不仅对行成立 ,对列也同样成立.
下面举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用. 推论 1 设A,B都是n阶方阵,则有
AB?AB
?2.6?
AB A作2n 阶行列式 证明C?0E 由拉普拉斯展开定理得 C?ABE?AB
ABA2AB?ABA0,有A 又由性质并应用于列的情况1?2???n?(n?1)???2nA?B?AB0E?0?EBE??BE?(?1)
A,则有B 推论 2 设A,B都是n阶方阵a00?00bBA?A?BA?B ?2.7? 0a0?0b000a?b00ABA?根据定性质BBA?2B并应用于列的情况B 证明 ,有
???????a00?0?0B00?b???A?BBA?B??AA?0A?B?A?0ba?0a?00?0?000 ?00?0??a0??0ba?0?0?b2nb00?a0 例1 0计算?0阶行列式?a0?00a??0??a??b0??b?0??0?00?a??D?b0?????0b0?0 ???????????????????b00?0b?b?0a00?解 令A?A?0B000a? 0B? ?aDA?BA?B?b0?0a?b0?0a则 ?BA?
nn22n(a?b)(a?b)(a?b) ?=
AB ,其中A≠0,并且AC?CA ,则有 推论 3 设A,B,C,D 都是n阶方阵AD?CB CD?
?2.8?
?AB??CD??1?1ACCA?CA? 的A证明 根据性质2,因为存在,并注意到=,用乘矩阵??A?CA?1B?第一行后加到第二行中去得
???1?0D?CAB?
A?CA?1BA B从而CD?0D?CA?1B
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AD?CAB ?
3112AD?ACA?1BAD?CAA?1BAD?CB? = 24341计算行列式023 例2 P0114= 解 A设 BP?CD
?1
?12??34???, C??10??01???,D??23??14???
?31?其中
?24??,B?A??由计算知
A?100≠ 且
AC?CA
611所以
P?AD?CB?518?53
把行列式的性质在分块矩阵中进行推广之后，我们又由这三个新的性质得到了三个结论.设A,B,C,D 都是n级方阵则有 ABAB?AB ?2.6?
?2.7? BA?A?BA?B AB
AD?CB CD? ?2.8?
2.6AB.结结论??告诉我们，两个方阵的乘积的行列式等于这两个方阵的行列式的乘积2.7论??则说明，当一个行列式可以分成四个级数相等的方阵A,B,B,A时（即BA），
A?BA?B那么我们可以转换为求，这样我们就把求2n级的行列式转换成了求n级的
2.8AB行列式.结论??同样也说明那个当一个行列式可以分成四个级数相等的方阵A,B,C,D时（即CD），我们可以转换为求AD?CB，同样将一个2n级的行列式转换成了n级的行列式.这样的处理能给我们的计算带来很大的方便.例1和例2就是很好的印证.但并不是任何矩阵都能做到这样，因此我们在解行列式计算题时应首先观察其特点，一但发现有以上行列式的特点,即可用之.
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