温十七中学使用资料 竞赛考题分类汇编（四）基本图形 2008-3-31
答案: 5. 解：∵MA＝MB＝MC＝5，∴∠ACB＝90°，已知周长是24，则AC＋BC＝14，AC2＋BC2＝102。∴2AC×BC＝（AC＋BC）2－（AC2＋BC2）＝142－102＝4×24。
∴。
6. 解：AD的中点M对BC张成90°角，又在AD上取点N使AN＝998，则ND＝1001。由△ABN和△DCN都为等腰三角形推知∠BNC＝90°，注意到以BC为直径的圆与AD至多有两个交点，可知所求点的个数为2。
7. 解：∵∠B＝36°，∠ACB＝128°，AM为∠CAB的平分线，∴∠CAM＝∠MAB＝
，∵∠AMC＝44°。又AN为切线，∴∠NAC＝∠B＝36°，
∠NAM＝44°，∴∠N＝180°－44°－44°＝92°，∴△ANM的最小角为44°。
8. 解：延长MN交BC的延长线于T，设MB的中点为O，连TO，则△BAM∽△TOB，
∴，即
，则AM＝
，BM＝
。
令DN＝1，CT＝MD＝
，BT＝，代入（1）式得，注意到
，解得
。
9. 证：作DE⊥AC于E，则AC＝AE，AG＝ED。由切割线定理有：AG2＝AF·AC，
∴ED2＝AF·AE，∴5ED2＝AF·AE，∴AB·ED＝AF·AE，∴，∴△BAF∽△AED，∴∠ABF＝∠EAD，而∠EAD＋∠DAB＝90°，∴∠ABF＋∠DAB＝90°，∴AD⊥BF。
11
温十七中学使用资料 竞赛考题分类汇编（四）基本图形 2008-3-31
10. 答：（B）。由于是CD＝
得，延长CB至D，使BD＝AB，
，在△ABC与△DAC中，∠C为公共角，且BC:AC＝AC:DC，
∴△ABC∽△DAC，∠BAC＝∠D，∵∠BAD＝∠D，∴∠ABC＝∠D＋∠BAD＝2∠D＝2∠BAC。
11. 答：（D）。分别构造△ABC与△A1B1C1如下：①作△ABC∽△A1B1C1，显然
，即S＞S1；②设，则，S＝10，
，则S1＝
，则
×100＞10，即S＜S1；③设，S＝10，
，则
，S1＝10，即S＝S1；因此，S与S1的大小关系不确定。
12. 答：66＋6BC＝6
（平方单位）。作AE、BF垂直于DC，垂足分别为E、F，由
，∠BCD＝45°，得AE＝BF＝FC＝6。由∠BAD＝120°，得∠DAE＝30°，
，AB＝EF＝8，DC＝2
＋8＋6＝14＋2
，
因为AE＝6得DE＝2
∴。
13. 答：2.4米。作PQ⊥BD于Q，设BQ＝米，QD＝米，PQ＝米，由AB∥PQ∥CD，
得及，两式相加得，由此得米。即点
P离地面的高度为2.4米。（注：由上述解法知，AB、CD之间相距多远，与题目结论无关。）
14. 解：由题设得AB2＝2AE2＝AE·AC，∴AB:AC＝AE:AB，又∠EAB＝∠BAC，∴△ABE∽△ACB，∴∠ABE＝∠ACB，从而AB＝AD。连结AD，交BD于H，则BH＝HD＝
。
∴OH＝
＝1，AH＝OA－OH＝2－1＝1。
12
温十七中学使用资料 竞赛考题分类汇编（四）基本图形 2008-3-31
∴∴
，
，∵E是AC的中点，
，∴，∴。
28．C
如图所示，∠B+∠BMN+∠E+∠G=360°，∠FNM+∠F+∠A+∠C=360°， 而∠BMN +∠FNM =∠D＋180°，所以
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.
A
B
M C
29．D
D G A D F N E C O B (第3题图) (第4题图) 显然AB是四条线段中最长的，故AB=9或AB=x。
（1）若AB=9，当CD=x时，92?x2?(1?5)2，x?35；
当CD=5时，92?52?(x?1)2，x?214?1； 当CD=1时，92?12?(x?5)2，x?45?5.
（2）若AB=x，当CD=9时，x2?92?(1?5)2，x?313；
当CD=5时，x2?52?(1?9)2，x?55；
当CD=1时，x2?12?(5?9)2，x?197.
故x可取值的个数为6个.
30. 161.
根据图中①、②、③的规律，可知图④中三角形的个数为 1+4+3×4+32?4+33?4=1+4+12+36+108=161（个）. 31．62.
如图，延长AD交地面于E，过D作DF⊥CE于F.
因为∠DCF=45°，∠A=60°，CD=4m，所以CF=DF=22m， EF=DFtan60°
B C F E A D (第9题图)
13
温十七中学使用资料 竞赛考题分类汇编（四）基本图形 2008-3-31
=26（m）. 因为
3AB3，所以AB?BE??62（m）. ?tan30??3BE332. 解：DP=PE. 证明如下：
因为AB是⊙O的直径，BC是切线， 所以AB⊥BC.
由Rt△AEP∽Rt△ABC，得
EPAE? . ① ……（6分） BCAB(第11题图) 又AD∥OC，所以∠DAE=∠COB，于是Rt△AED∽Rt△OBC. EDAEAE2AE故 ② ……（12分） ???1BCOBABAB2由①，②得 ED=2EP.
所以 DP=PE. ……（15分）
33. 解：（1）作DE⊥BC，垂足为E. 由勾股定理得
CD2?BD2?(CE2?DE2)?(BE2?DE2)?CE?BE?(CE?BE)BC.CD2?BD2CE?BECEBE???所以 .
BCBCBCBC222
因为DE∥AC，所以
CEADBEBD?,?. BCABBCABCD2?BD2ADBDAD?BD???故 . ……（10分） 2ABABABBC（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式仍然成立。此时有
AD=0，CD=AC，BD=AB.
CD2?BD2AC2?AB2?BC2????1， 所以
BC2BC2BC2AD?BD?AB???1. ABAB从而第（1）小题中的等式成立. ……（13分） （3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式不成立. 作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，则
E C 14
B A D 温十七中学使用资料 竞赛考题分类汇编（四）基本图形 2008-3-31
CD2?BD2CE2?BE2?BC2BC2
CE?BE2CE????1?,BCBC而
AD?BD?AB???1, ABABCD2?BD2AD?BD?所以 . ……（15分）
ABBC2〖说明〗第（3）小题只要回答等式不成立即可（不成立的理由表述不甚清 者不扣分）.
34. 解：设方程x2?2(k?2)x?k?0的两个根
为x1，x2，x1≤x2.由根与系数的关系得
x1?x2?4?2k， ① x1x2?k. ②
由题设及①知，x1，x2都是整数. 从①，②消去k，得
(第13A图) 2x1x2?x1?x2?4， (2x1?1)(2x2?1)?9.
由上式知，x2?4，且当k=0时，x2?4，故最大的整数根为4. 于是⊙O的直径为4，所以BC≤4.
因为BC=PC－PB为正整数，所以BC=1，2，3或4. ……（6分） 连结AB，AC，因为∠PAB=∠PCA，所以PAB∽△PCA，
PAPC?。 PBPA故 PA2?PB(PB?BC) ③ ……（10分） （1）当BC=1时，由③得，PA2?PB2?PB，于是
PB2?PA2?(PB?1)2，矛盾！
（2）当BC=2时，由③得，PA2?PB2?2PB，于是
PB2?PA2?(PB?1)2，矛盾！
15