温十七中学使用资料 竞赛考题分类汇编（四）基本图形 2008-3-31
（3）当BC=3时，由③得，PA2?PB2?3PB，于是
(PA?PB)(PA?PB)?3PB，
由于PB不是合数，结合PA?PB?PA?PB，故只可能
?PA?PB?1,?PA?PB?3,?PA?PB?PB, ???PA?PB?3PB,PA?PB?PB,PA?PB?3,????PA?2,解得 ?
?PB?1.此时 PA2?PB2?PC2?21.
（4）当BC=4，由③得，PA2?PB2?4PB，于是
(PB?1)2?PB2?4PB?PA2?(PB?2)2，矛盾. 综上所述
PA2?PB2?PC2?21. ……（15分）
35. 解：（1）答案是肯定的. 具体操作如下：
6 5 1 2 6 1 3 6 1 3 (1－4)(2－3)>0 交换2，3 3 4 5 4 2 (3－5)(2－4)>0 交换2，4 5 2
4 6 1 4 6 1 4 (1－2)(3－4)>0 交换3，4 5 2 3 (3－6)(2－5)>0 交换2，5 2 5 3 ……（5分）
（2）答案是肯定的. 考虑这2003个数的相邻两数乘积之和为P. ……（7分）
开始时，P0=1×2+2×3+3×4+…+2002×2003+2003×1，经过k（k≥0）次操作后，这2003个数的相邻两数乘积之和为Pk，此时若圆周上依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式(a?d)(b?c)>0，即ab+cd>ac+bd，交换b，c的位置
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后，这2003个数的相邻两数乘积之和为Pk?1，有
Pk?1?Pk?(ac?cb?bd)?(ab?bc?cd)?ac?bd?ab?cd?0. 所以Pk?1?Pk??1，即每一次操作，相邻两数乘积的和至少减少1，由于相邻两数乘积总大于0，故经过有限次操作后，对任意依次相连的4个数a，b，c，d，一定有(a?d)(b?c)≤0. ……（15分）
36. 答：选（C）
∵ a?h?0，b?h?0，
∴ ab?h2，a2?b2?h2?h2?2h2； 因此，结论（A）、（D）显然不正确.
设斜边为c，则有a?b?c，1(a?b)h12?2ch?12ab，即有 111a?b?h， 因此，结论（B）也不正确. 由12a2?b2h?11112ab化简整理后，得a2?b2?h2， 因此结论（C）是正确的.
37. 答：选（B）
由DE∥AB∥FG知，△CDE∽△CAB，△CDE∽△CFG，所以
CDS?CDE2CA?S??14， ?CAB32又由题设知
FDFA?12，所以 FDAD?13， FD?113AD?3?34AC?14AC，
故FD?DC，于是
S2?CDES???1???14，S?CFG?8. ?CFG?2?因此，结论（B）是正确的.
38. 答：30°
解：设?CAD?2?，由AB=AC知
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4题图）（第 温十七中学使用资料 竞赛考题分类汇编（四）基本图形 2008-3-31
?B?1(180??60??2?)?60???， 2?ADB?180???B?60??60???，
由AD=AE知，?ADE?90???， 所以?EDC?180???ADE??ADB?30?.
39. 答：4或6
解：延长DA至M，使BM⊥BE. 过B作BG⊥AM，G为垂足.易知四边形BCDG为正方形， 所以BC=BG. 又?CBE??GBM， ∴ Rt△BEC≌Rt△BMG.
∴ BM=BE，?ABE??ABM?45?， ∴△ABE≌△ABM，AM=AE=10.
设CE=x，则AG=10?x，AD=12?(10?x)?2?x，DE=12?x. 在Rt△ADE中，AE2?AD2?DE2， ∴ 100?(x?2)2?(12?x)2， 即x2?10x?24?0， 解之，得x1?4，x2?6. 故CE的长为4或6.
40. 解：连结AP，则?APB??ACB??ADP，
所以，△APB∽△ADP， …………………………（5分） ABAP?∴， APAD所以AP2?AB?AD?3AD2，
∴AP?3AD， …………………………（10分） 所以
42.
PBAP??3. …………………………（15分） PDAD 18
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43.
44.
45.
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46. 答：B．
解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过k次后，可得(k＋1)个多边形，这些多边形的内角和为(k＋1)×360°．
因为这(k＋1)个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为
34×(62－2)×180°=34×60×180°，其余多边形有(k＋1)－34= k－33(个)， 而这些多边形的内角和不少于(k－33) ×180°．
所以(k＋1)×360°≥34×60×180°＋(k－33)×180°，解得k≥2005．
当我们按如下方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便34个六十二边形和33×58个三角形．于是共剪了58＋33＋33×58=2005（刀）．
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