利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)． π5π?2kπ＋≤x≤2kπ＋，??x??44?∴定义域为??. ??? k∈Z?法三：sin x－cos x πππx－?≥0，将x－视为一个整体，由正弦函数y＝sin x的图象和性质可知2kπ≤x－≤π＋2kπ，k∈Z， ＝2sin??4?44π5π解得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z. 44所以定义域为 π5π????x2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z?. 44???πx－?≥0， 法四：sin x－cos x＝2sin??4?∵角的终边在第Ⅰ、Ⅱ象限的正弦值为正，在x轴上的正弦值为0， π∴2kπ≤x－≤2kπ＋π， 4π5π即＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z， 44∴定义域为 π5π????x2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z?. 44???π2x＋?＋1， (2)①因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋2sin xcos x＋cos 2x＝1＋sin 2x＋cos 2x＝2sin?4??2π所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π. 2π2x＋?＋1. ②由①的计算结果知，f(x)＝2sin?4??πππ5π0，?时，2x＋∈?，?， 当x∈??2?4?44?π5π?由正弦函数y＝sin x在??4，4?上的图象知， πππ当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2＋1； 428π5ππ当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值0. 442π0，?上的最大值为2＋1，最小值为0. 综上，f(x)在??2? (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数、三角函数图象或三角函数所在象限的符号成为受人尊敬的百年育人集团,让孩子成为人生道路上的冠军5 / 19
转化求解． (2)三角函数值域的不同求法： ①利用sin x和cos x的值域直接求； ②把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域； ③把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域； ④利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域． 1．函数y＝ππ－，? A.??66?ππkπ－，kπ＋?，k∈Z B.?66??ππ2kπ－，2kπ＋?，k∈Z C.?66??D．R 解析：选C.∵cos x－33ππ≥0，得cosx≥，∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z. 2266cos x－3的定义域为( ) 22．函数y＝cos 2x＋2sin x的最大值为( ) A．2 5C． 23B． 2D．3 解析：选B.y＝cos 2x＋2sin x＝－2sin2x＋2sin x＋1，设t＝sin x(－1≤t≤1)，则原函数可以化为y＝－2t2＋2t＋1＝－1313t－?＋，∴当t＝时，函数取得最大值. 2??2?222x3．(2015·高考北京卷)已知函数f(x)＝sin x－23sin2. 2(1)求f(x)的最小正周期； 2π0，?上的最小值． (2)求f(x)在区间?3??解：(1)因为f(x)＝sin x＋3cos x－3 πx＋?－3， ＝2sin??3?所以f(x)的最小正周期为2π. 2πππ(2)因为0≤x≤，所以≤x＋≤π. 3332成为受人尊敬的百年育人集团,让孩子成为人生道路上的冠军6 / 19
π2π当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值． 332π2π0，?上的最小值为f??＝－3. 所以f(x)在区间?3???3? 三角函数的单调性与周期性 ππ＋4x?＋cos?4x－?的周期、单调区间及最大、最小值． 求函数y＝sin?6??3??πππ＋4x?＋?－4x?＝， [解] ∵??3??6?2ππ4x－?＝cos?－4x? ∴cos?6???6?πππ＋4x??＝sin?＋4x?. ＝cos?2－??3??3???π2ππ4x＋?，周期T＝＝. ∴y＝2sin?3??42πππ当－＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ(k∈Z)时，函数单调递增， 2325πkππkπ－＋，＋?，(k∈Z)． ∴函数的单调递增区间为??242242?ππ3π当＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ(k∈Z)时， 232函数单调递减， πkπ7πkπ?∴函数的单调递减区间为??24＋2，24＋2?，(k∈Z)． πkπ当x＝＋(k∈Z)时，ymax＝2； 2425πkπ当x＝－＋(k∈Z)时，ymin＝－2. 242 (1)求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．(2)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系即可求解，另外，若是选择题利用特殊值验证排除更为简捷． ππωx＋?在?，π?上单调递减，则ω的取值范围是( ) 1．已知ω>0，函数f(x)＝sin?4??2??15?A.??2，4? 13?B．??2，4? 成为受人尊敬的百年育人集团,让孩子成为人生道路上的冠军7 / 19
10，? C.??2?D．(0，2] πππππ解析：选A.由 πππ π|φ|≤?的图象关于直线x＝0对称，则φ的值为( ) (2)[奇偶性]已知f(x)＝sin x＋3cos x(x∈R)，函数y＝f(x＋φ)?2??πA. 2πC． 4πB． 3πD． 6(3)[轴对称](2015·高考天津卷)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________． 4π2×＋φ? [解析] (1)由题意得3cos?3??2π?＝3cos??3＋φ＋2π? 2π2ππ＋φ?＝0，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z， ＝3cos??3?32ππ∴φ＝kπ－，k∈Z，取k＝0，得|φ|的最小值为. 66πx＋?，y＝f(x＋φ) (2)f(x)＝2sin??3?πx＋＋φ?图象关于x＝0对称， ＝2sin??3?即f(x＋φ)为偶函数． πππ∴＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z， 326ππ又∵|φ|≤，∴φ＝.故选D. 26πωx＋?， (3)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin?4??因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称， πππ所以f(ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋＝2kπ＋，k∈Z，所以ω2＝＋2kπ，k∈Z. 4242πωπ又ω－(－ω)≤，即ω2≤， 22ππ所以ω2＝，所以ω＝. 42[答案] (1)A (2)D (3) π(1)y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求出，由ωx0＋φ＝kπ，(k∈Z)求出对称中心(x0，0)． 2π 2成为受人尊敬的百年育人集团,让孩子成为人生道路上的冠军9 / 19