18．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q＞0，S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=，Tn为{bn}的前n项和，求T2n．
【考点】数列的求和；数列递推式．
S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2．【分析】（I）等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q＞0，可得a3=a4﹣2a2，a2q=a2（q2﹣2），解得q．进而得出a1，可得an． （II）n为奇数时，bn=
=
=
．n为偶数时，bn=
．分
组求和，利用“裂项求和”方法可得奇数项之和；利用“错位相减法”与等比数列的求和公式可得偶数项之和．
【解答】解：（I）∵等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q＞0，S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2．
∴a3=a4﹣2a2，可得a2q=a2（q2﹣2），
∴q2﹣q﹣2=0，解得q=2．∴a1+a2=2a2﹣2，即a1=a2﹣2=2a1﹣2，解得a1=2． ∴an=2n．
（II）n为奇数时，bn=n为偶数时，bn=∴T2n===
+
++…++．
+…++…+．
==．
++…+
设A=则
A=
+…++…+
，
+
，
∴A=+…+﹣=﹣，
∴A=﹣∴T2n=
． +﹣
．
19．已知函数f（x）=﹣x3+ax2+b（a，b∈R）．
（1）设函数g（x）=f（x）﹣b，若a=1，求函数g（x）在（1，g（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在（0，2）上是增函数，求a的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求得g（x）的解析式和导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程，可得切线的方程；
（2）先求出f（x）的导函数，然后求出导函数的根，讨论a的取值范围分别求出函数的单调增区间，使（0，2）是增区间的子集即可，解不等式即可得到所求a的范围．
【解答】解：（1）函数g（x）=f（x）﹣b=﹣x3+x2， 导数为g′（x）=﹣3x2+2x，
函数g（x）在（1，g（1））处的切线斜率为﹣3+2=﹣1， 切点为（1，0），可得切线的方程为y=﹣（x﹣1）， 即x+y﹣1=0；
（2）由题意，得f'（x）=﹣3x2+2ax， 令f′（x）=0，解得x=0或x=a， 当a＜0时，由f′（x）＞0，解得所以f（x）在（
＜x＜0，
，0）上是增函数，与题意不符，舍去；
当a=0时，由f'（x）=﹣3x2≤0，与题意不符，舍去； 当a＞0时，由f′（x）＞0，解得0＜x＜所以f（x）在（0，
）上是增函数，
，
又f（x）在（0，2）上是增函数， 所以
≥2，解得a≥3，
综上，a的取值范围为[3，+∞）．
20．已知椭圆E：E上．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
B两点，（Ⅱ）直线l与椭圆E交于A、且线段AB的垂直平分线经过点△AOB（O为坐标原点）面积的最大值． 【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），讨论直线AB的斜率为0和不为0，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合基本不等式和二次函数的最值的求法，可得面积的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）由已知，e==∵点∴
∴椭圆方程为
在椭圆上， ，解得a=2，b=1．
；
，a2﹣b2=c2，
．求
（a＞b＞0）的离心率
，且点
在椭圆
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）， ∵AB的垂直平分线过点
，∴AB的斜率k存在．
当直线AB的斜率k=0时，x1=﹣x2，y1=y2，
∴S△AOB=?2|x|?|y|=|x|?
=≤?=1，
当且仅当x12=4﹣x12，取得等号， ∴
时，（S△AOB）max=1；
当直线AB的斜率k≠0时，设l：y=kx+m（m≠0）．
消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
由△＞0可得4k2+1＞m2①， x1+x2=﹣
，x1x2=
，可得
，
，
∴AB的中点为
，
由直线的垂直关系有
，化简得1+4k2=﹣6m②
由①②得﹣6m＞m2，解得﹣6＜m＜0， 又O（0，0）到直线y=kx+m的距离为
，
，
=
∵﹣6＜m＜0，∴m=﹣3时，
，
．
由m=﹣3，∴1+4k2=18，解得即
；
时，（S△AOB）max=1；
综上：（S△AOB）max=1．
2018年4月5日