18. (本小题满分l2分)
甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：
甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15，边界忽略不计)即为中奖．
乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖．
问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?
?19．(本小题满分12分)
已知数列{an}的前n项和Sn?an?n2?1，数列{bn}满足3n?bn?1?(n?1)an?1?nan，且b1?3． (I)求an，bn；
(Ⅱ)设Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn． 【答案】(I) an?2n?1;bn?【解析】
试题分析：(I) 由Sn?an?n2?1构造另一个等式Sn?1?an?1?(n?1)2?1, 两式相减,根据Sn与an的关系可求数列?an?的通项公式an ,再将所得an 的表达式代入到3n?bn?1?(n?1)an?1?nan 中即可求数列{bn} 的通项公式;
4n?1154n?5T??；(Ⅱ) n3n?122?3n?1
20．(本小题满分13分) 已知函数f(x)?x3?x?x．
(I)判断
f(x)的单调性； x(Ⅱ)求函数y?f(x)的零点的个数；
1ax2?ax(III)令g(x)??lnx，若函数y?g(x)在(0，)内有极值，求实数a的取值范围；
ef(x)?x【答案】(I) 【解析】
f(x)在?0,???单调递增；(Ⅱ) 2 (III) xf?x?1试题分析：(I) ??x??，先求其定义域：?0,???，在其定义域上由??x?导数符号判?x2?1?xx断的的单调性.
设h?x??x?(2?a)x?1，
2则h?x??0有两个不同的根x1,x2，且一根在?0,?内, 不妨设0?x1???1?e?1，由于x1?x2?1，所以,x2?e??????????????????11分 e由于h?0??1,则只需h???0，即解得:a?e??1??e?11?2?a?1?0,????????????12分 ??2ee1?2?????????????????????????????13分 e考点：1、求导法则；2、函数的零点；3、导数在研究函数性质中的应用.
21．(本小题满分14分)
x2y2 已知双曲线C：2?2?1的焦距为32，其中一条渐近线的方程为x?2y?0．以双曲线C的实
ab轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E，过原点O的动直线与椭圆E交于A、B两点． (I)求椭圆E的方程；
????????????2????2(II)若点P为椭圆的左顶点，PG?2GO，求|GA|?|GB|的取值范围；
(Ⅲ)若椭圆上点P满足|PA|=|PB|，求证
112??为定值.
|OA|2|OB|2|OP|2????2????2x122y12??1,将GA?GB表示成x1的函数,从而求出它的取值范围. B??x1,?y1?,由33(Ⅲ) ①若A,B在椭圆的短轴顶点上，则点P在椭圆的长轴顶点上,OA?OB?b,OP?a可得
1OA2?1OB2?2OP2?2;②若A,B在椭圆的长轴顶点时，则点P在椭圆的短轴顶点上,
1OA2OA?OB?a,OP?b,可得?1OB2?2OP2?2③当点A,B,P不是椭圆顶点时，设直线l的方程
?y?kx233k112?2222x?,y?为y?kx?k?0?,由?x解得：于是写出的,??2y11222221?2k1?2k?1OAOBOP??3?3表达式并化简可得定值.
11???????????????????????????????8分 311112022?又?x1???3,3?,?x1??0,3?,??x1?
??333=x1?2????2????2?1120??GA?GB的取值范围是?,?.??????????????????9分
?33?2?2?k2?1?2k21?2k2???2????2222223?1?k?3?1?k?3?1?k?OAOBOP112
综上
1OA2?1OB2?2OP2为定值2.????????????????????????14分
考点：1、双曲线、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的位置关系.