在Rt△ABP中，∵AB=2，∠ABP=30°， ∴AP=1，PB=， ∴PF=，PE=
，
在Rt△APE和Rt△BPF中， AE=∴a=
=
，BF=
=
，
，b=．
故答案为2，2；，
（2）猜想：a2+b2=5c2， 如图3，连接EF，
设∠ABP=α，∵AF⊥BE， ∴AP=csinα，PB=ccosα，
．
由（1）同理可得，PF=PA=csinα，PE=PB=ccosα，
AE2=AP2+PE2=c2sin2α+c2cos2α，BF2=PB2+PF2=c2cos2α+c2sin2α， ∴（b）2=c2sin2α+c2cos2α，（ a）2=c2cos2α+c2sin2α， ∴a2+b2=c2cos2α+c2sin2α+c2sin2α+c2cos2α，
∴a2+b2=5c2；
（3）如图4，连接AC，EF交于H，AC与BE交于点Q，设BE与AF的交点为P， ∵点E、G分别是AD，CD的中点， ∴EG∥AC， ∵BE⊥EG， ∴BE⊥AC，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC=2， ∴∠EAH=∠FCH，
∵E，F分别是AD，BC的中点， ∴AE=AD，BF=BC， ∴AE=BF=CF=AD=
，
∵AE∥BF，
∴四边形ABFE是平行四边形， ∴EF=AB=3，AP=PF， 在△AEH和△CFH中，
，
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∴△AEH≌△CFH， ∴EH=FH，
∴EQ，AH分别是△AFE的中线， 由（2）的结论得：AF2+EF2=5AE2， ∴AF2=5（）2﹣EF2=16， ∴AF=4．
26．如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相交于C（﹣2，0），D（﹣8，0）两点，与y轴相切于点B（0，4）．
（1）求经过B、C、D三点的抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为E，求证：直线CE与⊙A相切；
（3）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使△BDF面积最大？若存在，请求出点F坐标和面积最大值；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
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【分析】（1）直接利用交点式代入求出直线解析式进而得出答案； （2）首先求出直线CE的解析式，再得出△ACG≌△ABG（SSS），进而求出直线CE与⊙A相切；
（3）首先求出直线BD的解析式，表示出FN的长，再利用S△BDF=S△DNF+S△BNF，求出最值即可． 【解答】（1）解：设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x+8）， 将D（0，4）代入得4=16a，即a=，
∴抛物线的解析式为y=（x+8）（x+2）=x2+x+4；
（2）证明：如图1，设直线CE与y轴交于点G，连接AB、AC、AG． 由题知，顶点E的坐标为（﹣5，﹣）， 设直线EC的解析式为：y=kx+b， 则
，
解得：，
∴直线CE的解析式为：y=x+， 令x=0得G（0，） ∴BG=4﹣=， ∵CG=
=
=，
∴BG=CG，
在△ACG和△ABG中 ∵
，
∴△ACG≌△ABG（SSS） ∴∠ACG=∠ABG，
∵⊙A与y轴相切于点B， ∴∠ACG=∠ABG=90°， ∵点C在⊙A上，
∴直线CE与⊙A相切；
（3）解：存在点F，使△BDF面积最大．
如图2，连接BD、BF、DF，过F作FN∥y轴，交BD于点N，交x轴于点G．
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由B（0，4）、D（﹣8，0）， 设直线BD的解析式为y=cx+d， 则
，
解得：，
故直线BD的解析式为：y=x+4， 设F（t， t2+t+4），N（t， t+4） 则FN=t+4﹣（t2+t+4）=﹣t2﹣2t，
∴S△BDF=S△DNF+S△BNF=FN×DG+FN×OG=FN×OD =×8×（﹣t2﹣2t）=﹣（t+4）2+16，
∴当t=﹣4时，S△BDF有最大值，最大值为16． 此时点F的坐标为（﹣4，﹣2）．
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2016年6月10日
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