长春工业大学学士论文
摘 要
非线性振动理论在工程科学中有着广泛的应用，同时从非线性振动中提出的一些数学模型，例如：Duffing方程，van der pol方程和Mathieu方程，在非线性动力学理论中占有很重要的地位。本文应用了多尺度方法对小参数非线性微分方程求近似解。同时这也是全文的核心。全文共分四章。首先，第一章叙述了分线性振动的由来，分类和特点，对振动现象的普遍存在进行了系统的描述。第二章非线性振动理论的研究方法简单介绍了解析法和小参数的引入，并着重叙述了近似解析法中的一种常用的方法—多尺度法。第三章运用多尺度法求一类非线性微分方程的近似解。最后一章结束语总结全文，述说本文的写作感受。全文重点在二，三章，详细说明多尺度法，利用多尺度法通过对非线性微分方程近似解的求导，解出近似解。
关键词：非线性振动，多尺度法，稳定性，周期解，
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Adjust to reach agreement of dealy Vander Pol equation Abstract
Theory of nonlinear vibration can be apply broadly in the engineering science field ,and some mathematical model advance from nonlinear vibration ,for example: Duffing equation , Van der pol equation and Mathieu equation, it lay hold on very important place in the theory of nonlinear vibration field. The discourse broad multiple size method for little parameter nonlinear differential equation count proximate disentangle. And it is core of the discourse . The discourse have four chapters. The first, The first chapter narrative cause of nonlinear vibration ,classification and specially characteristic ,for vibration phenomena universal presence ongoing systemic depict. The second chapter investigation method in theory of nonlinear vibration simple introduce analyze method and draw into little parameter, and emphasize state a commonly use method in proximate analyze method investigation method ------ multiple size method .The third chapter alone degree of freedom compulsory vibration proximate disentangle discuss make use of multiple size method disentangle special nonlinear differential in resonance and no resonance two cases proximate disentangle. The last chapter tally up full text, recount writing feel full text .The important point of the full text in the second chapter and the third chapter, elaborate on multiple size method，and make use of pass nonlinear differential proximate disentangle proximate consequence have to out the relation type of the system a main factor , combination sketch , for example no resonance phenomenon , second resonance phenomenon ， Beyond harmonic wave resonance and second harmonic wave resonance.
Keywords ： proximate disentangle, nonlinear vibration, multiple
size method , main resonance，
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目录
摘 要 ........................................... 1 Abstract ............................................ 2 一、引言 ............................................ 5 （一）非线性问题研究的历史概况 .................... 5 （二）、非线性问题的研究 ........................... 5 （三）、线性与非线性的意义 ......................... 5 二 、预备知识 ....................................... 6 （一）、渐进解析法 ................................. 6 1.1摄动法 ........................................ 6 1.1.1 Poincare 法 .............................. 6 1.1.2 Poincare-Lindstedt 法 .................... 7 1.2 平均法 ........................................ 8 1.2.1 KB法 ..................................... 8 1.3 KBM法（渐进法）............................. 10 1.3.1 渐进解的一般形式 ....................... 10 1.4 多尺度法 ..................................... 12 1.4.1 方法的一般描述 ........................ 13 1.4.2 自治系统 .............................. 14 三、无限传输方程的近似解 ........................... 16 （一） 稳定性分析 ............................... 16
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（二）近似周期解 ................................. 18 参考文献 ........................................... 24
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一、 引言
（一）、非线性问题研究的历史概况
非线性科学是一门研究非线性现象共性的基础学科。它是自本世纪六十年代以 来，在各门以非线性为特征的分支学科的基础上逐步发展起来的综合性学科，被誉 为本世纪自然科学的“第三次革命”。非线性科学几乎涉及了自然科学和社会科学 的各个领域，并正在改变人们对现实世界的传统看法。科学界认为：非线性科学的 研究不仅具有重大的科学意义，而且对国计民生的决策和人类生存环境的利用也具 有实际意义。由非线性科学所引起的对确定论和随机论、有序与无序、偶然性与必 然性等范畴和概念的重新认识，形成了一种新的自然观，将深刻地影响人类的思维方法，并涉及现代科学的逻辑体系的根本性问题。
（二）、非线性问题的研究
非线性问题的“个性”很强，处理起来十分棘手。历史上曾有过一些解非 线性方程的“精品”，但与大量存在的非线性方程相比，只能算是“凤毛麟角”。 因此，长期以来，对非线性问题的研究一直分散在自然科学和技术科学的各个 领域。本世纪六十年代以来，情况发生了变化。人们几乎同时从非线性系统的 两个极端方向取得了突破：一方面从可积系统的一端，即从研究多自由度的非 线性偏微分方程的一端获得重大进展。如在浅水波方程中发现了“孤子”，发 展起一套系统的数学方法，如反散射法，贝克隆变换等，对一些类型的非线性 方程给出了解法；另一方面，从不可积系统的极端，如在天文学、生态学等领 域对一些看起来相当简单的不可积系统的研究，都发现了确定性系统中存在着 对初值极为敏感的复杂运动。促成这种变化的一个重要原因十计算机的出现和 广泛应用。科学家们以计算机为手段，勇敢地探索那些过去不能用解析方法处 理的非线性问题，从中发掘出规律性的认识，并打破了原有的学科界限，从共 性、普适性方面来探讨非线性系统的行为。
（三）、线性与非线性的意义
“线性”与“非线性”是两个数学名词。所谓“线性”是指两个量之间所存在 的正比关系。若在直角坐标系上画出来，则是一条直线。由线性函数关系描述的系 统叫线性系统。在线性系统中，部分之和等于整体。描述线性系统的方程遵从叠加
原理，即方程的不同解加起来仍然是原方程的解。这是线性系统最本质的特征之一。
“非线性”是指两个量之间的关系不是“直线”关系，在直角坐标系中呈一条曲
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