长春工业大学学士论文
线。 最简单的非线性函数是一元二次方程即抛物线方程。简单地说，一切不是一次的函 数关系，如一切高于一次方的多项式函数关系，都是非线性的。由非线性函数关系 描述的系统称为非线性系统。
二 、预备知识
在一类非线性系统的研究中，主要分两种类型的研究方法。一类是非线性系统的定性分析，另一类是非线性系统的近似解析方法。近似解析解是对非线性系统做定量的分析，由于可求出精确解析解的非线性系统极少，因此只能采用近似解得方法。
在这里我们主要介绍具有确定性系数的非线性振动方程周期解的经典方法，重点叙述摄动法、平均法、KBM法和多尺度法，从这些方法中可得出进一步的结果。本章还通过一些著名上的实例阐明了非线性振动的特有的动力学行为，其中一些主要概念在研究分叉和浑沌运动时也将被应用。
（一）、渐进解析法 1.1摄动法
摄动法又称小参数法。它处理含小参数?的系统，一般当??0时可求得解
x0。于是可把原系统的解展成?的幂级数x?x0?x1??x2?2????若这个级数当
??0时一致收敛，则称正则摄动，否则；称奇异摄动。摄动法的种类繁多，本节介绍最基本的Poincare-Lindstedt方法。
1.1.1 Poincare 法
考虑含小参数?的非线性系统
x??x??f(x,x) （1.1.1）
20????其中f是关于x和x的解析函数。当??0时（1.1.1）有解
x0?acos(?0t??) （1.1.2）
ix(t)?x(t)?当??0时把解写成 ?i?x(t;?) （1.1.3）
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将x?x(t;?)代入（1.1.1），并将
f?f(x(t;?),x(t;?))在??0处展成?的
幂级数，比较系数可求得解x(t;?)。
1.1.2 Poincare-Lindstedt 法
考虑到系统（1.1.1）的振动频率?通常不是常数。本方法是引入新变量?，
作变换
???t （1.1.6）
来求对?的周期解。将?和x展开为小参数?的幂级数
???0???1??2?2???? （1.1.7）
x?x0(?)??x1(?)??2x2(?)???? （1.1.8）
其中x(?)为周期函数，?i为待定常数。注意到
2??dx2dx2x????x?， x????x??， 2dtd??利用变换关系（1.1.6）及以上?和x的展开式，代入方程（1.1.1）后，可得xi(?)所满足的各阶方程
2dx00?:2?x0?0 （1.1.9a）
d?2dx0d2x12?:(2?x1)?0?f0?2?0?1 (1.1.9b)
d?d?2?f0dx1?f0?f0dx222?:(2?x2)?0?x1????1
d??xd??x???22dxdx120?2?0?12 (1.1.9c) ?(2?0?2??1)2d?d?2dx?fdx?f?f2?3:(33?x3)?0?x20?20??20
d??xd??x???2222?f?f?f?f0?dxdx1?2?2f0dx12?2f0200011?()??1?2x1?2x1?1?2?1 ??x1? 22!??xd??x???2d??x?x??x??d??x????第 7 页 共 24 页
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2d2x0d2x22dx1?(2?0?2??1)2?2?0?1 ?2(?0?3??1?2)? (1.1.9d) 2d?d?d?2 ?..
上列方程组中，f0,次求解xi(?)。
由于xi(?)是以2?为周期的周期函数，即满足 xi(??f0,???等为函数f及其导数在原点(x0,x0?)的取值，且可依?x?2?)?xi(?)
这一附加条件可以决定各阶频率修正值?i，即可适当选择?i，从而消除永年项得
到周期解。
1.2 平均法
各种平均法的思想都来源于求解二阶线性非齐次常微分方程特解得常数变易方法下面，最简单的平均法讲起。
1.2.1 KB法 对于非线性自治系统 x?? x??20x??f(x,x) （1.2.1）
?根据常数变易的思想，Krylov和Bogoliubov把解写成
?a(t)cos?(t)
?(t)??0t??(t) （1.2.2a）
即非线性方程（1.2.1）的解仍具有线性方程解的形式，指示振幅a和相位?都不再是常数，而是时间的函数。（1.2.2）中出现的?叫全相位，它由式（a）决定。（1.2.1）和（1.2.2）中有三个待求函数：x(t),a(t)和?(t)。为寻求一个补充方程，对（1.2.2）求导
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x?acos??a?sin??a?0sin? （1.2.2b）
????若近似地取非线性振动速度具有线性方程时速度的形式，即 x???a?0sin? （1.2.2c）
??则由式（b）可得补充方程
acos??a?sin??0 （1.2.2d）
将x,x,x代入（1.2.1），得
????a?0sin??a?0cos???f(acos??a?0sin?) （1.2.2e）
联立（d）和（e），可解出：
?????a???sin?f(acos?,?a?0sin?)?0?? （1.2.3） ?????cos?f(acos?,?a?0sin?)?a?0?
从（1.2.1）到（1.2.3），相当于做了一种变量替换，把x,x换成了a，?。这种变换的物理意义是：拟简谐系统的振动仍以简谐振动的形式表示，但其振动的振幅和频率都随时间变化。而振幅a(t)，相位?(t)的变化比函数x(t)的变化要缓慢，表现为a，?，O(?)的量级。换言之，振幅、相位是时间的慢变函数。这是式（1.2.3）反映出的第一个特点。第二个特点是式（1.2.3）右端函数都是全相位?的周期函数。可是，由于非线性，对式（1.2.3）精确求解仍十分困难，只能求近似解。
KB法的求解简述如下：由于式（1.2.3）右端函数是?的周期函数，可将其展开成Fourier级数；又由于a(t)，?(t)均缓慢变化，所以在第一次近似时可略去级数展开式中的谐波项，仅取常数项。于是得到第一次近似的求解方程。
????a??2??0??2?0sin?f(acos?,?a?0sin?)d? （1.2.4）
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????0??2??0??2?0cos?f(acos?,?a?0sin?)d?
??注意到其中第二个式子已经用到式（a）,由?替换为?。（1.2.4）右端的积分项就是式（1.2.3）右端函数在一个周期T?2?内对时间的平均值。由于a，?在时间为一个周期的量级内变化很小，所以计算右端平均值时可看做常量。由于易由上式积分求出a(t), ?(t).
1.3 KBM法（渐进法）
这种方法的基本思想是根据弱非线性系统中振动的拟简谐性质来寻求相应的具有渐进性质的级数解。这个方法是由Krylov-Bogoliubov-Mitropolsky共同提出的，故称KBM法。
1.3.1 渐进解的一般形式
设在外周期力作用下，弱非线性系统强迫振动方程可表
x??x??f(?t,x,x) （1.3.1）
式中 ?为外周期力的常数频率。这时，系统是非自治的。
当 ??0时，系统是线性的，振动是简谐的。当??0时，考虑解除其具有主谐波外还有微小的高次谐波项，可设解为
??20?x?acos???(a,?,?t)??2x2(a,?,?t)?? （1.3.2a）
其中各xi(a,?,?t)是两个角度量?,?t的周期函数，周期为2?。对自治系统，变量?t?0.
考虑到弱非线性项的影响，主谐波的振幅和相位是时间慢变函数，可有下面按?幂级数展开形式的微分方程决定，即
a??a1(a)??2a2(a)?? （1.3.2b）
????0???1(a)??2?2(a)??
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