长春工业大学学士论文
a?0
???a2???381524?a256
a?a0
积分得
????a2?a0,?0为积分常数，所以
?3?81524??a?t??0 256?11524?3?A?a0exp?i(?a2??a)t?i?0?2256?8?
于是，原方程二阶近似解为
x?a0cos??12121253?a0(1??a0)cos3???a0cos5? 32321024381524?a)t??0256
其中
??(1??a2?
三、无限传输方程的近似解
（一） 稳定性分析
对于系统
?(t)??x?(t??)?x(t)???x(t??)?? xf(x(t)) （2.1.1）
对于方程（2.1.1）的根x0, 如果对x0的任一邻域U,存在x0的一个属于U的邻域
U1，使系统（2.1.1）的解x(t)，若有x0?U1,则对一切t?0，有x(t)?U，就
称x0是稳定的，否则就称为不稳定的。如果x0稳定，并且有
limx(t)?x，就
0t???第 16 页 共 24 页
长春工业大学学士论文
称x0是渐近稳定的。
定义：若（2.1.1）的零解对?????都是渐近稳定的。则称（2.1.1）为全时滞稳定的。或叫无条件稳定或绝对稳定。 可求(2.1)的特征方程：
将x?ce代人到方程（2.1.1）中则有，
?t?t??(t??)?c?e?(t??) x(t)?c?e x(t??)?ce?(t??) x?t?(t??)?(t??)c?e??c?e???ce?0 所以有：
即有： ????e??????e????0 （2.1.2）
???e??? ?? ????e?1若??0时，则?????为其特征根。
??1如果其特征根位于左半平面，而当
?由0增至??时，不越过虚轴，则系统
（2.1.2）的更全具有负实部，这样系统（2.1）的零解为全时滞稳定的。因此，
要使（2.1.1）为全时滞稳定，首先要使（2.1.2）的根具有负实部。 只有当(2.1.1)的特征根为纯虚数时，方程的解才有近似周期解。 用???i代人（2.1.1）中，有
?i?? ?i???ie???e?i???0
即 ?i???i(cos???isin??)???cos???i??sin???0
?????cos?????sin???0 所以有 ?
??sin?????cos???0? 令
f(?)??2(1??cos??)???2cos??
???当1??cos???0时，在区间上?0,上， ??2??f'(?)?2?(1??cos??)??2??sin?????2?sin???0
函数
f单调
第 17 页 共 24 页
长春工业大学学士论文
当
??0时， f(?)?时，
f(0)????2?0
?当??2???2f(?)?f()?2?0
2?4?函数与X轴有交点，方程有解，即 特征方程（2.1.2）有纯虚根。
（二）近似周期解
在?x3的非线性扰动的情况下，可求系统的一次近似周期解（利用多尺度法） 设x(t)?x0(T0,T1,T2)??x1(T0,T1,T2)??x2(T0,T1,T2)?? （2.2.1） 其中T02?t,T1??t,T2??2t?Tn??nt
???D0，?D1，知： ?T0?T1应用微分算子，记
d??????0(?2)?D0??D1?0(?2) （2.2.2） dt?T0?T1由x(t)?x0(T0,T1)??x1(T0,T1)?0(?2)，知
x(t??)?x0(T0??,T1??)??x1(T0??,T1??)?0(?2) (2.2.3)
根据二元函数的泰勒展开：
f(x0?h,y0?k)
?f(x0,y0)?(h令(T0???k)f(x0,y0)?? ?x?y???x0,h?0,T1?y0,???k) 知
??x?T1x0(T0??,T1??)?x0(T0??,T1)?(0????)
?x?T1?T0?x ?x0(T0??,T1)????T1 ?x1(T0
??,T1)???D1x1 （2.2.4）
第 18 页 共 24 页
长春工业大学学士论文
??x?T1???) x1(T0??,T1??)?x1(T0??,T1??)?(0??x?T1?T0?x1)??? ?x1(T0??,T?T1 ?将（2.2.4），（2.2.5）代人(2.2.3)中
得到时滞项：
x1(T0??,T1)???D1x1 （2.2.5）
x(t??)?x0(T0??,T1??)??x1(T0??,T1??)?0(?2)
?x1(T0??,T1)???D1x1+?x1(T0??,T1)???2D1x1+0(?2)
2 ?x0(T0??,T1)??[x1(T0??,T1)??D1x0(T0??,T1)]?0(?)（2.2.6）
x3(t)?(x0??x1??)3
32?x(T,T)?3?x 0010(T0,T1)x1(T0,T1)
2233?3x(T,T)??x(T,T)??x1(T0,T1)??（2.2.7） 001101?x0?x02?x0?x12?x13?x1?(t)?x??????????? （2.2.8）
?T0?T1?T0?T0?T1?T2将（2.2.1）（2.2.2）(2.2.3)（2.2.4）（2.2.5）（2.2.7）（2.2.8）代人原方程得
?(t)??x?(t??)???x(t??) x?D0x0(T0,T1)??D1x0(T0,T1)??D0x0(T0,T1)??2D1x1(T0,T1)
2???Dx(T,T)??Dx(T,T)??Dx(T,T)??D1x1(T0,T1)?10010101?0001??????x0(T0??,T1)??x1(T0??,T1)???D1x0(T0??,T1)?
??x03(T0,T1)?3?2x02(T0,T1)x1(T0,T1)?3x0(T0,T1)??3x12(T0,T1)??4x13(T0,T1)
这样根据多项式的性质，可知，指数?0,?1,?2的系数在等式两边相等。这样就有，
0? :D0x0(T0,T1)??D0x0(T0,T1)???x0(T0??,T1)?0 （2.2.9）
则，当(a,b)?D时，系统可形如（2.1.1），这样??0i是特征方程的根。易见方
?第 19 页 共 24 页
长春工业大学学士论文
程（2.2.9）有如下形式的谐波解：
x0(T0,T1)?A(T1)e?0T0i?cc
其中cc表示前面各项的共轭，
?0T0i??0T0ix0(T0,T)?A(T)e?A(T)e 111x03(T0,T1)?A3(T1)e3?0T0i?3A2(T1)e2?0T0iA(T1)e??0T0i?3A(T1)e2?0T0iA2(T1)e?2?0T0i?A3(T1)e?3?0T0i
?
A3(T1)e3?0T0i?3A2(T1)A(T1)e?0T0i?3A(T1)A2(T1)e??0T0i?A3(T1)e?3?0T0i
?1:D1x0(T0,T1)?D0x1(T0,T1)??D1x0(T0,T1)??D0x1(T0,T1)
???x1(T0??,T1)????D1x0(T0??,T1)
3?x0(T0,T1)
?x0?A?0T0i?A??0T0i?e?e又有，D 1x0(T0,T1)??T1?T1?T1这样， D0x1(T0,T1)??D0x1(T0,T1)???x1(T0??,T1) ??D1x0(T0,T1)??D1x0(T0,T1)????D1x0(T03??,T1)?x0(T0,T1)
?A?0T0i?A??0?i?A?0T0i?A??0?i?A?0T0i??0?i??e??e??e???e????e?e?A3(T1)e3?0T0i?T1?T1?T1?T1?T1 =??A?0T0i?A??0?i?A?0T0i?A??0?i?A?0T0i??0?ie??e??e???e????e?e ?T1?T1?T1?T1?T1?A3(T1)e3?0T0i?3A2(T1)A(T1))e?0T0i?3A(T1)A2(T1)e??0T0i?A3(T1)e?3?0T0i
??A?A??A??0?i????????e?3A2(T1)A(T1)?e?0T0i
?T1??T1?T1???A???0T0i?A2?????3A(T1)A(T1)?e?A3(T1)e3?0T0i?A3(T1)e3?0T0i
?T1??T1?
第 20 页 共 24 页