长春工业大学学士论文
这里ai,?i都是主谐波振幅a的函数。
可见KBM法事把解展成三个级数来求，又称三级数法。求解方程（1.3.1）
i?1,2,?),的过程，就是要决定函数xi(a,?,?t)和选择函数ai(a),?i(a)(使得由
（1.3.1b）求得的a和?代入（1.3.1a）后能满足原方程。为了唯一地确定函数
ai,?i，应保证使xi为?和?t的周期函数，还应使xi不不存?一次谐波，以避免永年项出现。
具体过程是把（1.3.2.a,b）所表示的关系式代入（1.3.1）的左端，同时将（1.3.1）右端函数按?同次幂系数，可得一组渐进的线性方程组，于是可依次求解。为此，由（1.3.2a）对t求导后代入（1.3.1）左端，并考虑（1.3.2b）,则可得
?2x12?2x1?2x12x??x??(2?0??0x1?2?2?2a?0?1cos?
???t???t??20??2x22?2x2?2x22?0??0x2?2?2-2?0a1sin?)???2?t???t???2
?da??2a?0?2cos??2?0a2sin???a11?a?12?cos?
?da?d?1?2x1?2x1?(aa1?2a1?1)sin??2?0a1?2?0?1da?a????2
?2x1?2x1?2a1?2?1???3????? （1.3.3a） ?a?t???t?f(x,x,?t)在x0?acos?,x0??a?0sin?处展开，有
?????f(x,x0,?t)?f(x,x,?t)??f(x,x0,?t)??2?x1
??x??????f(x,x0,?t)?x??(a1cos??a?1sin???x1?x?0?1)? ???t?O(?3) （1.3.4b）
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比较（1.3.3）两式的?的系数，得下列微分方程组：
?2x12???0x1?f0(a,?,?t)?2a?0?1cos? 2??20?2a?0a1sin??G1(a,?,?t) (1.3.4a)
?2x2?f(a,?,?t)2???0x2?x1??a1cos??a?1sin? 2???x20?21?x1d?1?f(a,?,?t)?0??(2?a?aa)sin?? 111???da?xda1(?a?a1)cos??2?0a2sin??2?0?2cos??
da?2x1?2x2?0a1?2?0?1?G2(a,?,?t) (1.3.4b) 2?a??????
其中
?2x1?2x1G1(a,?,?t)??2?0?2???t?t?2x2?2x2?x1?f(a,?,?t)G2(a,?,?t)??2?0?2?? ????t?t?t?x?2x1?2x1?2a1?2?1
?a?t???t
对于自治系统，Gi(a,?,?t)(i?1,2,?)函数自动为零。依次求解上面各方程，并利用xi是周期解来消除永年项，从而定出各ai,?i.
1.4 多尺度法
用摄动方程研究非线性方程及其解的性质，相应的物理现象中，常出现某些因素或局部变化缓慢，某些因素或局部变化剧烈的情况。这使人们想到对自变量要采取多种不同的变化尺度去进行渐进展开求解。这类方法称为多尺度法。
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1.4.1 方法的一般描述
如用KBM法求得非线性问题的解，其解x(t;?)的渐进展开式明显的和依赖于?一样依赖于t,?t,?2t,?.为了使展开式对t增大到o(??M)仍有效，可引入M+1个不同尺度的时间变量
TM??mt m?0,1,2,?,M （1.4.1）
那么x 就是M+1个独立的自变量的函数，而不再是单个自变量t的函数了，即
x(t;?)?x(T0,T1,?,TM;?)???mxm(T0,T1,?,TM)?o(?TM)m?0M?1 （1.4.2）
这些新自变量Tm随时间t变化的速度依次减慢一个数量级。至于M取几，要取决于需求到哪一阶近似解。若（1.4.2）算到o(?2)，那么独立时间变量为T0和T1。若（1.4.2）需算到o(?3)，则取三个独立时间变量T0,T1和T2。
引入多个不同尺度的时间变量后，使得对于时间t的导数变成为对于Tm的偏导数展开式
ddtdT?dT1?dT2??0???? （1.4.3a）dt?T0dt?T1dt?T2??2?????????T0?T1?T2d2?2?2?2?2???(?)?? (1.4.3b) dt2?T02?T0?T1?T12?T0?T2将（1.4.2），（1.4.3）代入非线性方程（1.2.1），就能按?的幂次得到各阶求解方程，即关于x0,x1,?,xM的方程组，各方程的解中包含有不同尺度的时间变量
T0,T1,?,TM的任意函数。这些任意函数的确定，和以往的方法一样，利用消除永年项得到的附加条件，就能依次确定。
以上介绍的是常用的多变量型多尺度法，又叫导数展开法。多尺度法是解决
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非线性问题最有效的方法之一。
1.4.2 自治系统
例1.4.1 求Duffing方程（1.1.4）
x?x???x3(?0?1)
自由振动的二次近似解（用多尺度法）
解：
求二次近似解可选三个变量，设
代入原方程，并用到式（1.4.3），可得到下列方程组
??x?x0(T0,T1,T2)??x1(T0,T1,T2)??2x2(T0,T1,T2)
?2x0?x0?0 2?T0 （1.4.4a）
?2x1?23?x??2?x10?T02?T0?T1 (1.4.4b)
?2x2?2x2?2?23 ?x2??2?2?2?3x0x12?T0?T0?T1?T0?T2?T1 (1.4.4c)
设式（1.4.4a）的解为
x0?A(T1,T2)exp(iT0)?Aexp(?iT0)
其中A是未知复函数，
A是A的共轭。用复数形式表示是为了运算方便。把 x0代入式（1.4.4b）
??A?2x12?3?x??2i?3AAexp(iT)?Aexp(i3T0)?cc??102?T0??T1?
其中cc表示前面各项的共轭。为使x1,不出现永年项，必须
2i?A?3A2A?0?T1 （1.4.4d）
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13 x1?Aexp(i3T0)?cc
8又求得
把
x0,x1代入（1.4.4c）,并利用条件（1.4.4d），有
??A1532??2x221435?x2???2i?AA?exp(iT0)?AAexp(i3T0)?Aexp(5iT0)?cc?T02?T888?2?
消除永年项
?A15322i?AA?0?T28 （1.4.4e）
x2解
为
x2??21415AAexp(i3T0)?Aexp(5iT0)?cc6464
利用式（1.4.4d）,（1.4.4e）求A（T1,T2）如下： 由（1.4.4d）
?A3?iA2A ?T12由（1.4.4c）
?A1532??iAA ?T216?A?0利用式（1.4.3a）并注意到?T0，就得到
2dA3215?iAA?iA3A dt216A?令有
1aexp(i?)a,?是t的实函数，将之代入上式，实、虚部展开，2，其中
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