中山市东升高中 高二数学◆选修2-1◆导学案 编写：李晓利 校审：李八江
§3.1.1空间向量及其运算
学习目标 1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；
2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；
3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 学习过程 一、课前准备 （预习教材P84~ P86，找出疑惑之处） 复习1：平面向量基本概念：
具有 和 的量叫向量， 叫向量的模（或长度）； 叫零向量，记着 ； 叫单位向量. 叫相反向量， ?a的相反向量记着 . 叫相等向量. 向量的表示方法
有 ， ， 和 共三种方法.
复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算：
1. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则. 2. 实数与向量的积： 实数λ与向量a的积是一个 量，记作 ，其长
度和方向规定如下： (1)|λa|＝ .
(2)当λ＞0时，λa与A. ；
当λ＜0时，λa与A. ； 当λ＝0时，λa＝ .
3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？ 加法交换律：a＋b＝b＋a
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）
数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb
二、新课导学
※ 学习探究 探究任务一：空间向量的相关概念
问题： 什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？
新知：空间向量的加法和减法运算： 空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为
1 两个平面向量的加法和减法运算，例如右图中，???OB?? ， ???AB?
? ，
试试：1. 分别用平行四边形法则和三角形法则求?a??b,?a??b.a.b2. 点 C 在线段AB上，且ACCB?52,则
??? AC ? ? ???
AB ? ,
???BC?? ???AB?. 反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？
⑴加法交换律：A. + B. = B. + a； ⑵加法结合律：(A. + b) + C. =A. + (B. + c)； ⑶数乘分配律：λ(A. + b) =λA. +λb． ※ 典型例题 例1 已知平行六面体ABCD?A'B'C'D'（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：
⑴????AB????BC??； ⑵????AB?????AD??????AA?'；⑶????AB?????AD??1?????2CC'
⑷12(????AB?????AD??????AA?')．
变式????????：在上图中，用???AB?,???AD?,????AA'表示AC'?,????BD?'和DB?'.
小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平
移使它们转化为首尾相接的向量．
2008年下学期◆高二 月 日 班级： 姓名： 第三章 空间向量与立体几何 例2⑴ ??? 化简下列各式：AB?????BC???? CA??; ⑵???AB????????????????⑶???AB?????AC?????BD?????CD?; ⑷ ???OA?MB????OD??BO????DC??OM; . 变式⑸ ???：化简下列各式： OA?????????????⑹ ???AB??OC?BO?CO; ⑺ ???NQ?????AD?????????QP??DC?????MN?; ????MP?. 小结：化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法既可转化成加法，也可按减法法则进行运算，加法和减法可以转化. ※ 动手试试 练1. 已知平行六面体ABCD?A'B'C'D', M为A1C1与B1D1的交点，化简下列表达式：⑴ ????AA????A? 1?1B1; ⑵ 1????A?1?????1B1?A1⑶ ????22D1; AA1?????1?????1?A1B1?A1D1 ⑷ ???22AB?????BC??????CC?????A?????1?C11?A1A. 三、总结提升 ※ 学习小结 1. 空间向量基本概念； 2. 空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律 ※ 知识拓展 平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.
学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列说法中正确的是（A. 若∣? ） a∣=∣?b∣，则?a，?b的长度相同，方向相反或相同B. 若?a与?; b是相反向量，则∣?a∣=∣?b∣; C. 空间向量的减法满足结合律; D. 在四边形ABCD中，一定有???AB?????AD?????AC?. 2. ????长方体ABCD?A'B'C'D'中，化简A??A'?????'?A?'?????' D 3. 已知向量?B= a，?Ab是两个非零向量，??a??????0,b0是与a，b同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（A. ??a???? B. ??a?????????? ） 0?b0 0?b0或a0??C. ??a? D. ∣?a?b0 0?1 0∣=∣b0∣ 4. 在四边形ABCD中，若???AC?????AB?????AD?,则四边形是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 5. 下列说法正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 空间向量不可以平行移动 C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 D. 同向且等长的有向线段表示同一向量 课后作业 1. 在三棱柱ABC-A'B'C'中，M,N分别为BC,B'C'的中点，化简下列式子： ⑴ ????AM? + ???BN? ⑵????? ?????A'N－MC'????+ BB' 2. 如图，平行六面体ABCD?A1AC与的BD的交点，???AB???Ba，???1CAD?1D1??中，点M为b，????AA??1c，则下列向量中与????? B1M相等的是（ ） A. ?1?2a?1?2b??c B. 1?2a?1??2b?c C. 1?2a?1?2b??c D. ?1?2a?1??2b?c 2
中山市东升高中 高二数学◆选修2-1◆导学案 编写：李晓利 校审：李八江
§3.1.2 空间向量的数乘运算（一）
学习目标 1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；
2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 学习过程 一、课前准备
（预习教材P86~ P87，找出疑惑之处） 复习1：化简：⑴ 5（3?a?2?
b）+4（2?b?3?a）；
⑵ 6??a?3?b??c?????a??b??c?.
复习2：在平面上，什么叫做两个向量平行？
在平面上有两个向量??a,?b， 若?b是非零向量，则?a与b平行的充要条件是
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：空间向量的共线
问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判
定它们的位置关系？
新知：空间向量的共线：
1. 如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.
2. 空间向量共线：
定理：对空间任意两个向量?a,?b（?b??0）， ?a//?b的充要条件是存在唯一实数?，使得
推论：如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O，点P在直
线l上的充要条件是
3 试试：已知???AB???a?5?b,???BC???? ???CD??2a?8b, ?3??a??b? ，求证: A,B,C三点共线.
反思：充分理解两个向量?a?的?b??,b共线向量的充要条件中
0，注意零向量与任何向量共线.
※ 典型例题
例???1 已知直线ABOP??xOA?????yOB????，点O是直线AB外一点，若，且x+y＝1，试判断A,B,P三点是否共线？
变式：已知A,B,P三点共线，点O是直线AB外一点，若???OP??1???2OA??tOB????，那么t＝
例2 已知平行六面体ABCD?A'B'C'D'，点M是棱AA'的中点，点G在对角线A'C上，且CG:GA'设???CD?=?a，???CB????????????=2:1,
量??CA??,???CA?',????CM?b,CC'?c，试用向量a,b,c表示向,???CG?.
变式1：已知长方体ABCD?A'B'C'D'，M是对角线AC'????中点，化简下列表达式：⑴ AA'?????????CB?
????? ;
?????⑵ AB'?B'C'?C'D'
⑶ 1????1?1????2AD????2AB?2A'A
2008年下学期◆高二 月 日 班级： 姓名： 第三章 空间向量与立体几何 变式2：如图，已知A,B,C不共线，从平面ABC外任一点O，作出点P,Q⑴???,R,S,使得： OP?????????????⑵?????OA?????2AB?????2AC???? ⑶???OQOR?????OA??3???AB??2???AC ⑷???OS??OA????OA??3AB??2????2AC AB??3???AC?. 小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向. ※ 动手试试 练1. 下列说法正确的是（A. ?? ） ????向量a与非零向量b共线，b与c共线，则a与c 共线； B. 任意两个共线向量不一定是共线向量； C. 任意两个共线向量相等；D. 若向量?a与? b共线，则?a???b. 2. 已知a??3m??2n??,b?(x?1)?m?8?，na???0，若a?//b?，求实数x. 三、总结提升 ※ 学习小结 1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律； 2. 空间两个向量共线的充要条件及推论. ※ 知识拓展 平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.
学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列说法正确的是（A.?a与非零向量? b共线,?） b与?c共线，则?a与?c共线 B. 任意两个相等向量不一定共线 C. 任意两个共线向量相等D. 若向量?a与?b共线，则? a???b 2. 正方体ABCD?A'B'C'D'A'B'C'D'的中心，若????BB'?xAD???中，点??yAB????E是上底面?zAA????', 则x＝ ，y＝ ，z＝ . 3. 若点则???OP?P是线段AB的中点，点O在直线AB外，? ???OA? + ???OB?. 4. 平行六面体ABCD?A'B'C'D', O为A1C与B1D的交点,则1????????????'????3(AB?AD?AA)? AO 5. 已知平行六面体ABCD?A'BBD交点，若???'C'D'，MAB???a,???AD???b,????AA'??c，则与?????是AC与B'M相等的向量是（ ） A. ?1?1??2a?2b?c； B. 1?2a?1?2b??c； C. 1?2a?1?2b??c； D. ?1?1??2a?2b?c. 课后作业： 4
中山市东升高中 高二数学◆选修2-1◆导学案 编写：李晓利 校审：李八江
§3.1.2 空间向量的数乘运算（二） 学习目标 1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简； 2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 学习过程 一、课前准备 （预习教材P86~ P87，找出疑惑之处） 复习1：什么叫空间向量共线？空间两个向量?a,?b若?b是非零向量，则?， a与?b平行的充要条件是 复习2：已知直线AB，点O是直线AB外一点，若???OP??1???3OA??2???3OB?，试判断A,B,P三点是否共线？ 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：空间向量的共面 问题：空间任意两个向量不共线的两个向量???a,b有怎样的位置关系？空间三个向量又有怎样的位置关系？ 新知：共面向量： 同一平面的向量. 2. 空间向量共面： 定理：?????对空间两个不共线向量a,b，向量p与向量a,?b共面的充要条件是存在 ， 使得 . 推论：空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是： ⑴ 存在 ，使 ⑵ 对空间任意一点O，有 5
试试：若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满
足关系式???OP??1???2OA??1????1????3OB?6OC,则点P与 A,B,C
共面吗？
反思：若空间任意一点足关系式???OP??xOA???O?和不共线的三点?yOB????A,B,C满
?zOC????,且点P与 A,B,C共面，则x?y?z? .
※ 典型例题 例 1 下列等式中， 使M,A,B,C四点共面的个数是（ ）
①????OM?????OA?????OB??????OC?;
②????OM??1????1????1?????5OA?3OB?OC;
③???MA???????????2④????OM??MB?????MC?0; OA?????OB?????OC???0. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
变式：已知A,B,C三点不共线，O为平面ABC外一
点，若向量???OP??1???5OA??7???3OB??????OC????R?, 则P,A,B,C四点共面的条件是??
例2 如图，已知平行四边形ABCD,过平面AC外一点O作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,,F,G,H,并且使OEOA?OFOB?OGOHOC?OD?k, 求证：E,F,G,H四点共面.