中山市东升高中 高二数学◆选修2-1◆导学案 编写：李晓利 校审：李八江
§3.1.5 空间向量运算的坐标表示 学习目标 1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式； 2. 会用这些公式解决有关问题. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P95~ P97，找出疑惑之处） 复习1：设在平面直角坐标系中，A(1,3)，B(?1,2)，则线段︱AB︱＝ . 复习2：已知?a???3,2,5?,?b??1,5,?1?，求： ⑴a＋B. ⑵3a－b； ⑶6A. ； ⑷a·b. 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：空间向量坐标表示夹角和距离公式 问题：在空间直角坐标系中，如何用坐标求线段的长度和两个向量之间的夹角？ 新知： 1. 向量的模：设a＝(a1,a2,a3)，则｜a｜＝ 2. 两个向量的夹角公式： 设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)， 由向量数量积定义： a·b＝|a||b|cos＜a,b＞， 又由向量数量积坐标运算公式：a·b＝ ， 由此可以得出：cos＜a,b＞＝ 试试： ① 当cos＜a、b＞＝1时，a与b所成角是 ； ② 当cos＜a、b＞＝－1时，a与b所成角是 ； ③ 当cos＜a、b＞＝0时，a与b所成角是 ， 即a与b的位置关系是 ，用符合表示为 . 反思： 设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则 ⑴ a//B. ? a与b所成角是 ? a与b的坐标关系为 ； ⑵ a⊥b?a与b的坐标关系为 ； 3. 两点间的距离公式： 在空间直角坐标系中，已知点A(x1,y1,z1)， 11 B(x2,y2,z2)，则线段AB的长度为：
AB?(x22?x1)?(y1?y2)2?(z1?z2)2.
4. 线段中点的坐标公式：
在空间直角坐标系中，已知点A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则线段AB的中点坐标为: .
※ 典型例题
例1. 如图,在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E1,F1分别是A1B1,C1D1的一个四等分点，求BE1与DF1所成的角的余弦值．
变式：如上图,在正方体ABCD?1A1B1C1中
D，BAB1E1?D1F1?113，求BE1与DF1所成角的余弦值．
例2. 如图，正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E,F分别是BB1,D1B1的中点，求证：EF?DA1.
2008年下学期◆高二 月 日 班级： 姓名： 第三章 空间向量与立体几何 变式：如图，正方体ABCD?A1B1C1D1中，点M是AB的中点，求DB1与CM所成角的余弦值. 小结：求两个向量的夹角或角的余弦值的关键是在合适的直角坐标系中找出两个向量的坐标，然后再用公式计算. ※ 动手试试 练1. 已知A(3,3,1)、B(1，0，5)，求： ⑴线段AB的中点坐标和长度； ⑵到A、B两点距离相等的点P(x,y,z)的坐标x、y、z满足的条件． 练2. 如图，正方体的棱长为2，试建立适当的空间直角坐标系，写出正方体各顶点的坐标，并和你的同学交流. 三、总结提升 ※ 学习小结 1. 空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式； 2. 解决立体几何中有关向量问题的关键是如何建立合适的空间直角坐标系，写出向量的坐标，然后再代入公式进行计算. ※ 知识拓展 在平面内取正交基底建立坐标系后，坐标平面内的任意一个向量，都可以用二元有序实数对表示，平面向量又称二维向量.空间向量可用三元有序实数组表示，空间向量又称三维向量.二维向量和三维向量
统称为几何向量. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 若a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b1a2a2,b3)，则
a?b??3是1b2b3a//?b的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不不要条件2. 已知?a??2,?1,3?,b????4,2,x?，且?a??
b，
则x＝ .
3. 已知A?1,0,0?,B?0,?1,1?,???OA??????OB?与???OB?的夹角为120°，则?的值为（ ）
A. ?6 B. 6 C. ?6 D. ?4. 若?6a??x,2,0?,?666 b??3,2?x,x2?，且?a,?b的夹角为钝
角，则x的取值范围是（ ）
A. x??4 B. ?4?x?0 C. 0?x?4 D. x?4
5. 已知 ?a??1,2,?y?,?b??x,1,2?， 且
(?a?2?b)//(2?a??b??)，则（ ）
A. x?13,y?1 B. x?12,y??4
C. x?2,y??14 D. x?1,y??1
课后作业：
1. 如图，正方体ABCD?A'B'C'D'棱长为a， ⑴ 求A'B,B'C的夹角；⑵求证：A'B?AC'.
2. 如图，正方体ABCD?A1B1C1D1中，点M,N分别为棱A1A,B1B的中点，求CM和D1N所成角的余弦值.
12
??7. 向量的数量积：a?b? .
8. 单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互§3.1 空间向量及其运算（练习） 相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基 底，通常用｛i,j,k｝表示.
学习目标
1. 熟练掌握空间向量的加法，减法，向量的数乘运9.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系算，向量的数量积运算及其坐标表示； O-xyz和向量a，且设i、j、k为 x轴、y轴、z轴正2. 熟练掌握空间线段的长度公式、夹角公式、两点方向的单位向量，则存在有序实数组{x,y,z}，使得
????间距离公式、中点坐标公式，并能熟练用这些公式a?xi?yj?zk，则称有序实数组{x,y,z}为向量a
??解决有关问题. 的坐标，记着p? .
???? 学习过程 10. 设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB＝ .
一、课前准备：（阅读课本p115） 复习： 1. 具有 和 的量叫向量， 叫向量11. 向量的直角坐标运算： 的模； 叫零向量，记着 ； a ＝ ( a 1 ,a 2 , a 3 ) ，b＝(b1,b2,b3)，则 设具有 叫单位向量. ⑴a＋b＝ ； ⑵a－b＝ ； ⑶λa＝ ； ⑷a·b＝
2. 向量的加法和减法的运算法则有
法则 和 法则. ※ 动手试试 3.实数λ与向量a的积是一个 量，记作 ，其1．在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的
直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、长度和方向规定如下： b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则 (1)|λa|＝ . a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、 (2)当λ＞0时，λa与A. ； c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa当λ＜0时，λa与A. ； ＋yb＋zc．其中正确命题的个数为（ ） 当λ＝0时，λa＝ . A．0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 向量加法和数乘向量运算律： 交换律：a＋b＝ 结合律：(a＋b)＋c＝ ?????2．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量D1A、数乘分配律：λ(a＋b)＝ ?????????? 是（ ） D1C、AC115.① 表示空间向量的 所在的直线A．有相同起点的向量 B．等长向量
互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也C．共面向量 D．不共面向量
叫平行向量. ??②空间向量共线定理：对空间任意两个向量a,b3．已知a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2）， ????，若a、b、c三向量共面，则实数（b?0）， a//b的充要条件是存在唯一实数?， c＝（7，5，λ）
λ=（ ） 使得 ； 62636465③ 推论： l为经过已知点A且平行于已知非零向A. B. C. D. ?7777量a的直线，对空间的任意一点O，点P在直线l 上的充要条件是 4．若a、b均为非零向量，则a?b?|a||b|是a与b 共线的（ ） 6. 空间向量共面： A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ①共面向量： 同一平面的向量. ????②定理：对空间两个不共线向量a,b，向量p与向量C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 ??
a,b共面的充要条件是存在 ， 5．已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，使得 . －3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（ ） ③推论：空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,CA．2 B．3 C．4 D．5 共面的充要条件是：
??????????????⑴ 存在 ，使 6. a?3i?2j?k,b?i?j?2k,则5a?3b?（ ）
A．－15 B．－5 C．－3 D．－1 ⑵ 对空间任意一点O，有
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13 2008年下学期◆高二 月 日 班级： 姓名： 第三章 空间向量与立体几何 ※ 典型例题 例???1 如图，空间四边形OABC中，???OA???a????,OB??b?， OC???c，点M在OA上，且OM=2MA,点N为BC中点，则????的MN?? . 变???式：如图，平行六面体'''' AB???????a,AD???b，????AA'??ABCD?ABCD中，c,点P,M,N分别是CA',CD',C'D'的中点，点Q在CA'上，且CQ?4,用基底??QA'1⑴ ???a,b,?c表示下列向量： AP?; ⑵ ????AM?; ⑶ ????AN; ⑷ ???AQ?. 例2 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，?ABC?90?,CB?1,CA?2,AA1?,6点M是CC1的中点，求证：AM?BA1. 变式：正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长为2，底面边长为1，点M是BC的中点，在直线CC1上求一点N，使得MN?AB1
学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：1．直三棱柱????ABC—A???10?分）计分?a，???CB?： 1B1C1中，若CA?b，CC??c， 则????1A1B?（ ） A. a?b?c B. a?b?c C. ?a?b?c 2.?m???a,?m???b,向量?D.?a?b?c n???a???b(?,??R且?、??0)则（ ） A．?m?//?n B． ??m与?nC. ?m?不平行也不垂直 ??n， D．以上情况都可能3. 已知?a+?b+?c＝?0，|?a|＝2，|?. b|＝3，|?c|＝则向量?a与?b之间的夹角??a,?19，b?为（ ） A．30° B．45° C．60° 4.已知?a??1,1,0??b,???1,0,?2且,ka? D．以上都不对??b与2?a?? b互相垂直，则k的值是（ ） A. .1 B. 15 C. 35 D. 75 5. 若A(m＋1，n－1,3)， B. (2m,n,m－2n)， C(m＋3,n－3,9)三点共线，则m+n= 课后作业 如图，在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点. ⑴ 求证：EF?CF； ⑵ 求EF与CG所成角的余弦； ⑶ 求CE的长. 14
中山市东升高中 高二数学◆选修2-1◆导学案 编写：李晓利 校审：李八江
§3.2立体几何中的向量方法（1）
学习目标 1. 掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念; 2. 掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决平行、垂直、夹角等立体几何问题． 学习过程 一、课前准备
（预习教材P102~ P104，找出疑惑之处）
复习1： 可以确定一条直线；确定一个平面的方法有哪些？
复习2：如何判定空间A,B,C三点在一条直线上？
复习3：设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，
a·b＝
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一： 向量表示空间的点、直线、平面 问题：怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？
新知：
⑴ 点：在空间中，我们取一定点O作为基点，那么
空间中任意一点我们把向量???OP?P的位置就可以用向量???OP?来表示，称为点P的位置向量. ⑵ 直线：
① 直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量.
???② 对于直线l上的任一点P,存在实数t，使得AP??t???AB?，此方程称为直线的向量参数方程. ⑶ 平面：
① 空间中平面?的位置可以由?内两个不共线向
量确定.对于平面?上的任一点P,?a,?b是平面?内两个???OP?不共线向量，则存在有序实数对(x,y),使得?x?a??y. b
② 空间中平面?的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示空间中平面的位置.⑷ 平面的法向量：如果表示向量?
n的有向线段所在
直线垂直于平面?，则称这个向量?n垂直于平面?,
15 记作?n⊥?，那 么向量?n叫做平面?的法向量.
试试： .
1.如果?a,?b都是平面?的法向量，则?a,?b的关系 .
2.向量?n是平面?的法向量，向量?a是与平面?平行
或在平面内，则?n与?a的关系是 .
反思：
1. 一个平面的法向量是唯一的吗？ 2. 平面的法向量可以是零向量吗？
⑸ 向量表示平行、垂直关系：
设直线l,m的方向向量分别为?a,?b，平面?,? 法向量分别为??的
① l∥m??u,v，a∥?则
b?? ② l∥???a????a??kb
③ ?∥??u?u∥??av?u??u?0?kv?
.
※ 典型例题
例1 已知两点A?1,?2,3?,B?2,1,?3?,求直线AB
与坐标平面YOZ的交点.
变式：已知三点A?1,2,3?,B?2,1,2?,P?1,1,2?,点Q在
OP上运动（O为坐标原点）,求当???QA?????QB?取得最小值时,点Q的坐标.