2008年下学期◆高二 月 日 班级： 姓名： 第三章 空间向量与立体几何
变式：已知空间四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D不共面，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点，求证：E,F,G,H四点共面.
A
E H
D B G F
C
小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向.
同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.
学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
?????1. 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量D1A、??????????是（ ） D1C、AC11A. 有相同起点的向量 B．等长向量 C．共面向量 D．不共面向量.
2. 正方体ABCD?A'B'C'D'中，点E是上底面
????????????????A'B'C'D'的中心，若BB'?xAD?yAB?zAA', 则x＝ ，y＝ ，z＝ .
3. 若点P是线段AB的中点，点O在直线AB外，????????????则OP? OA + OB.
4. 平行六面体ABCD?A'B'C'D', O为A1C与B1D
?????????????'1???的交点,则(AB?AD?AA)? AO.
3※ 动手试试
5. 在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直
练1. 已知A,B,C三点不共线，对平面外任一点，满
线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、????1????2????2????足条件OP?OA?OB?OC，试判断：点P与b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、
555b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，
A,B,C是否一定共面？
则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋
yb＋zc．其中正确命题的个数为 （ ）.
A．0 B.1 C. 2 D. 3
课后作业： ????????1. 若a?3m?2n?4p,b?(x?1)m?8n?2yp，
???? a?0，若a//b，求实数x,y.
????????练2. 已知a?3m?2n,b?(x?1)m?8n，a?0，若 ?? a//b，求实数x.
??????????????2.已知两个非零向量e1,e2不共线,AB?e1?e2, 三、总结提升
??????????????????※ 学习小结 AC?2e1?8e2,AD?3e1?3e2. 求证：A,B,C,D共面．1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律； 2. 空间两个向量共线的充要条件及推论.
※ 知识拓展
平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的
平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共
6
中山市东升高中 高二数学◆选修2-1◆导学案 编写：李晓利 校审：李八江
§3.1.3．空间向量的数量积（1）
学习目标 1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法； 2. 掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题． 学习过程 一、课前准备 （预习教材P90~ P92，找出疑惑之处）
复习1：什么是平面向量?a与?b的数量积？
复习2：在边长为1的正三角形⊿ABC中，求???AB?????BC?.
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：空间向量的数量积定义和性质
问题：在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何量，能否用向量的知识解决空间两条直线的夹角和空间线段的长度问题？
新知：
1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量??在空间 一点O，作???OA?a,b，?a?,OB?????b?，则?AOB叫做向量a?与b?的夹角，记作 .
试试：
⑴??? 范围: ??a,b??? a,?b?=0时,?a与?b ;??a,?b?=π时,?a与?b ⑵ ?a?,b????b?
,a??成立吗？
⑶?a?,b??? ，则称a?与b?互相垂直，记作 .
2) 向量的数量积：已知向量a?,b?
，则 叫做a?,b?的数量积，记作a??b?，即a??b?? .
规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
反思：
⑴ 两个向量的数量积是数量还是向量？⑵ ?0??a? （选0还是? 0）
7 ⑶ 你能说出a??b?的几何意义吗？ 3) 空间向量数量积的性质：（1）设单位向量e?，则a??e? ?|a?
|cos?a?,e??．
（2）a??b??a??b?? ．（3）a??a?
? ＝ .
4) 空间向量数量积运算律：（1）(?a?)?b???(a??b?)?a?
?(?b?)．
（2）a?（3）a??b????(b??b?c??a（交换律）)?a?．
?b??a??c?（分配律
反思：⑴ （?
a??b)??c??a?(?b??c)吗？举例说明.
⑵ 若?a??b??a??c，则?b??c吗？举例说明.
⑶ 若?a??b?0，则?a??0或?b??0吗？为什么？
※ 典型例题
例1 用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
变式1：用向量方法证明：已知：m,n是平面?内的两条相交直线，直线l与平面?的交点为B，且l?m,l?n. 求证：l??．
例2 如图，在空间四边形ABCD中，AB?2，BC?3，BD?23，CD?3，?ABD?30?，?ABC?60?，求AB与CD的夹角的余弦值
D
A C
B 2008年下学期◆高二 月 日 班级： 姓名： 第三章 空间向量与立体几何 变式：如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若 两条直线的夹角和线段长度的新方法. 学习评价 AB=2BB1,则AB1与C1B所成的角为（ ） ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 60° B. 90° C. 105° D. 75° 例3 如图，在平行四边形ABCD-A1B1C1D1中，AB?4,AD?3,AA'?5,?BAD?90?,?BAA'= ?DAA'=60°,求AC'的长. ※ 动手试试 练1. 已知向量??a?,??b?满足?a?1，?b?2，?a??b?3，则?a??b?____. 练2. 已知?a?22,?b?22,?a??b??2, 则?a与?b的夹角大小为_____. 三、总结提升 ※ 学习小结 1..向量的数量积的定义和几何意义. 2. 向量的数量积的性质和运算律的运用. ※ 知识拓展 向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题，求
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列命题中：①若?a?
???②若??ba???0，则0且?a，b中至少一个为0
a??b??a??c，则?b??c③(?a??b)??c??a?(?b??
c)
④(3?a?2?b)?(3?a?2?b)?9?a2?4?b2
正确有个数为（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
2. 已知?e?????1和e2是两个单位向量，夹角为，则下面
向量中与A. ?e?2???e????3?2?e1垂直的是（B. ?e???? ）?
? D. ?e??1?e2 1?e2 C. e1 2 3.已知?ABC中，?A,?B,且a?3,b?1,?C?30?,则????C?所对的边为????a,b,c，
4. 已知?a?4，?b?2，且?BC?a和?CA=
b不共线，当 ?a???b与?a???b的夹角是锐角时，5. 已知向量??a?,??b?满足??的取值范围是a?4，?b?2，? a?? .
b?3，则?a??b?____ 课后作业：
1. 已知空间四边形ABCD中，AB?CD，AC求证：AD?BC.
D?BD，
A C
B 2. 已知线段AB、BD在平面?内,BD⊥AB, 线段AC??,如果AB＝a,BD＝b,AC＝c,求C、D间的距离. 8
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§3.1.4 空间向量的正交分解
及其坐标表示
学习目标 1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；
2. 掌握空间向量的坐标运算的规律； 学习过程 一、课前准备 ⑴a＋b＝(a1?b1,a2?b2,a3?b3)； （预习教材P92-96找出疑惑之处）
⑵a－b＝(a1?b1,a2?b2,a3?b3)；
复习1：平面向量基本定理：
?????⑶λa＝(?a,?a,?a3)(??R)；
对平面上的任意一个向量P，a,b是平面上两个 12⑷a·b＝a1b1?a2b2?a3b3.
向量，总
?????
是存在 实数对?x,y?，使得向量P可以用a,b来表
试试： ????????示，表达式为 ，其中a,b叫1. 设a?2i?j?3k，则向量a的坐标为 .
????????做 . 若a?b，则称向量P正交分解. 2. 若A(1,0,2)，B(3,1,?1)，则AB＝ .
3. 已知a＝(2,?3,5)，b＝(?3,1,?4)，求a＋b，a－b，
复习2：平面向量的坐标表示：
8a，a·b 平面直角坐标系中，分别取x轴和y轴上的 向量
???
i,j作为基底，对平面上任意向量a，有且只有一对
???实数x，y，使得a?xi?yj，，则称有序对?x,y?
??
为向量a的 ，即a＝ .
二、新课导学
※ 学习探究 探究任务一：空间向量的正交分解 ※ 典型例题 ????问题：对空间的任意向量a，能否用空间的几个向量例1 已知向量a,b,c是空间的一个基底，从向量
????????唯一表示？如果能，那需要几个向量？这几个向量
a,b,c中选哪一个向量，一定可以与向量p?a?b,
有何位置关系？ ???q?a?b构成空间的另一个基底？
新知：
?⑴ 空间向量的正交分解：空间的任意向量a，均可
?????????
分解为不共面的三个向量?1a1、?2a2、?3a3，使 ???????????????????a??1a1??2a2??3a3. 如果a1,a2,a3两两 ，这
种分解就是空间向量的正交分解.
???????????????变式：已知O,A,B,C为空间四点，且向量OA,OB,OC(2)空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c ，
??不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C是否共面？
对空间任一向量p，存在有序实数组{x,y,z}，使得
????????p?xa?yb?zc. 把 的一个基底，a,b,c都叫做基
向量.
反思：空间任意一个向量的基底有 个.
⑶单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互
相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基小结：判定空间三个向量是否构成空间的一个基底
9 底，通常用｛i,j,k｝表示.
⑷空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为 x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{x,y,z}，使得????a?xi?yj?zk，则称有序实数组{x,y,z}为向量a
??的坐标，记着p? .
????⑸设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB＝ .
⑹向量的直角坐标运算：
设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则
2008年下学期◆高二 月 日 班级： 姓名： 第三章 空间向量与立体几何 的方法是：这三个向量一定不共面. 例2 如图，M,N分别是四面体QABC的边OA,BC中点，P,Q是MN的三等分点，用???OA?,???OB?,???OC?的
表示???OP?和???OQ?
.
变式：已知平行六面体ABCD?A'B'C'是侧面BB'C'C的中心，且???OA???a，???OC?D??'，点b,????OO?G
'??c，试用向量???⑴???OB??',???BA?a,',???b,c表示下列向量: CA?'; ⑵ ???OG?.
※ 动手试试 练1. 已知?a??2,?3,1?,?b??2,0,3?,?c??0,0,2⑴?a???b??c?； ⑵?a?6?b?8??，求： c.
练2. 正方体ABCD坐标原点，以???AB,AD,AA??????A????'B?'C'D'的棱长为2，以A为'为x轴、y轴、建立空间直角坐标系，则点D?????????z轴正方向
'1，AC,AC的坐标分别是 ， ， .
三、总结提升 ※ 学习小结
1. 空间向量的正交分解及空间向量基本定理； 2. 空间向量坐标表示及其运算 ※ 知识拓展
建立空间直角坐标系前，一定要验证三条轴的垂直
关系，若图中没有建系的环境，则根据已知条件，
通过作辅助线来创造建系的图形.
学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 1. 若??满分：10分）计分：
a,??b??,c?为空间向量的一组基底，则下列各项中，
能构成基底的是（A.?a,?a??b,?a?? ）
b B. ?b,?a??b,?a??bC. ?c,?a??b,?a??b D. ?a?2?b,?a??b,?
a??b 2. 设i、j、k为空间直角坐标系z轴正方向的单位向量，且???AB?O-xyz???中x轴、y轴、
i??j??k，则点B的坐标是 3. 在三棱锥OABC中，G是?ABC的重心（三条中线的交点）???，选取???OA?,???OB?,???OC?为基底，试用基底表示OG?＝
4. 正方体ABCD?A'B'C'D'的棱长为2，以A标原点，以???AB,AD,AA??????????为坐
'为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，E为BB1中点，则E的坐标是 .
5. 已知关于x的方程x2??t?2?x?t2?3t?5?0有
两个实根，?c??a?tb?，且?a???1,1,3?,?b??1,0,?2?，
当t＝ 时，?c的模取得最大值. 课后作业 1. 已知A??3,5,?7?,B???2,4,3?,求???AB?,???BA?,线段AB
的中点坐标及线段AB的长度.
2. ?已a??知?a,?b,?c是空间的一个正交基底，向量
b,?a??b,?c??????1,2,3?，求?是另一组基底，若p?在?a??p在a,b,c的坐标是
b,?a??b,?c的坐标.
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