2008年下学期◆高二 月 日 班级： 姓名： 第三章 空间向量与立体几何 小结：解决有关三点共线问题直接利用直线的参数方程即可.
例2 用向量方法证明两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
变式：在空间直角坐标系中,已知A?3,0?,B?0,?0?C,4?,,试求平面0,0ABC,0的一个,2法向量.
小结：平面的法向量与平面内的任意向量都垂直.
※ 动手试试
练1. 设?a,?b分别是直线l1,l2的方向向量，判断直线
l1,l2的位置关系：⑴ ?a??1,2,?2?,? b???2,3,2?；
⑵ ?a??0,0,1?,?b??0,0,3?.
练2. 设u?,?v分别是平面?,?的法向量，判断平面
?,?⑴ u?的位置关系：??1,2,?2?,? v???2,?4,4?；
⑵ u???2,?3,5?,?v???3,1,?4?.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 空间点，直线和平面的向量表示方法 2. 平面的法向量求法和性质.
※ 知识拓展：
求平面的法向量步骤：
⑴设平面的法向量为?n?(x,y,z)；
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标；
⑶根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组； ⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：1. 设?10分）计分：
a??2,?1,?2?,?b??6,?3,?6?分别是直线l1,l2的
方向向量，则直线l1,l2的位置关系是 .
2. 设u????2,2,5?,?v??6,?4,4?分别是平面?,?的法向量，则平面?,?的位置关系是 .
3. 已知?n??，下列说法错误的是（ ）
A. 若a??，则?n?a B.若a//?，则?n?a
C.若?m???,，则?n//?m? D.若?m???,，则?n??m? 4.下列说法正确的是（ ）
A.平面的法向量是唯一确定的
B.一条直线的方向向量是唯一确定的
C.平面法向量和直线的方向向量一定不是零向量D.若??m是直线l的方向向量，??
5. 已知???AB???1,0,?1?,???AC?l//?，则m//?
??0,3,?1?，能做平面ABC的法向量的是（ ）
A. ?1,2,1? B.??1??1,3,1?? C.?1,0,0? D. ?2,1,3?
课后作业 1. 在正方体ABCD?A?????1B1C1D1中，求证：DB1是平面
ACD1的一个法向量.
2．已知???AB???2,2,1?,???AC???4,5,3?，求平面ABC的一个法向量.
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中山市东升高中 高二数学◆选修2-1◆导学案 编写：李晓利 校审：李八江
§3.2立体几何中的向量方法（2）
学习目标 1. 掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题；
2. 掌握向量运算在几何中求两点间距离和求空间图形中的角度的计算方法. 学习过程 一、课前准备
（预习教材P105复习1：已知?~a?? P107，找出疑惑之处b?1，?a?1,?.
b?2，且?m??2a??b?，求?m?.
复习2：什么叫二面角？二面角的大小如何度量？二面角的范围是什么？
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：用向量求空间线段的长度 问题：如何用向量方法求空间线段的长度？
新知：用空间向量表示空间线段，然后利用公式
???2aa求出线段长度.
试试：在长方体ABCD?'A'B'C中'D，已知AB?1,BC?2,CC'?1,求AC'的长.
反思：用向量方法求线段的长度，关键在于把未知
量用已知条件中的向量表示.
※ 典型例题
例1 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都
17 是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？
变式1：上题中平行六面体的对角线BD1的长与棱长
有什么关系？
变式2：如果一个平行六面体的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于?, 那么由这个平行六面体的对角线的长可以确定棱长吗?
探究任务二：用向量求空间图形中的角度
例2 如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线l（库底与水坝的
交线）的距离AC,BD分别为a,b，
CD的长为c，AB的长为d.求库底与水坝所成二面角的余弦值.
变式：如图，60?的二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB,已知AB?4,AC?6,BD?8,求CD的长.
2008年下学期◆高二 月 日 班级： 姓名： 第三章 空间向量与立体几何
※ 动手试试 练1. 如图，已知线段AB在平面α内，线段AC??，线段BD⊥AB，线段DD'??，?DBD'?30?，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D间的距离.
练2. 如图，M、N分别是棱长为1的正方体ABCD?A'B'C'D'的棱BB'、B'C'的中点．求异面直线MN与CD'所成的角.
三、总结提升
※ 学习小结 1. 求出空间线段的长度：用空间向量表示空间线段，然后利用公式??2a?a； 2. 空间的二面角或异面直线的夹角，都可以转化为
利用公式cos?a,??b??a??ba??b求解.
※ 知识拓展
解空间图形问题时,可以分为三步完成:
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)；
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.
学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 已知A?1,02?,B??1,1,3?，则AB? .
2. 已知cos?a,?b??12，则?a,?b的夹角为 .
3. 若M、N分别是棱长为1的正方体ABCD?A'B'C'D'的棱A'B',BB'的中点,那么直线AM,CN所成的角的余弦为（ ）
A.32 B.1010 C.35 D.25
4. 将锐角为60?边长为a的菱形ABCD沿较短的对角线折成60?的二面角，则AC,BD间的距离是（ ）
A.32a B.32a C.34a D.34a 5.正方体ABC?D''B'中C棱D长为a，????AM??1????3AC?A',N是BB'的中点，则MN为（ ）
A.216a B.6156a C.6a D.153a 课后作业 1. 如图，正方体ABCD?A'B'C'D'的棱长为1，
M,N分别是BB',B'C'的中点，求：
⑴ MN,CD'所成角的大小； ⑵ MN,AD所成角的大小； ⑶ AN的长度.
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中山市东升高中 高二数学◆选修2-1◆导学案 编写：李晓利 校审：李八江
试试：在棱长为1的正方体ABCD?A'B'C'D'中， 求点C'到平面A'BCD'的距离.
反思：当点到平面的距离不能直接求出的情况下，
可以利用法向量的方法求解.
§3.2立体几何中的向量方法（3）
学习目标 1. 进一步熟练求平面法向量的方法；
2. 掌握向量运算在几何中如何求点到平面的距离和两异面直线间距离的计算方法；
3. 熟练掌握向量方法在实际问题中的作用. 学习过程 一、课前准备
复习1：已知A?1,2,0?,B?0,1,1?,C?1,1,2?，试求平面
ABC的一个法向量.
复习2：什么是点到平面的距离？什么是两个平面间
距离？
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：点到平面的距离的求法
问题：如图A??,空间一点P到平面?的距离为d,
??????已知平面?的一个法向量为n,且AP与n不共线,能
?????否用AP与n表示d?
?P分析:过P作PO⊥?于O, ??n连结OA,则
????????d=|PO|=|PA|?cos?APO. ?????D ?OA? ?∵PO⊥?,n??, ?????
M ∴PO∥n. ????? ∴cos∠APO=|cos?PA,n?| A
B
?????????
∴D. =|PA||cos?PA,n?| ????????????????|cos?PA,n?||PA?n| ? =|PA|?|n|????=?? |n||n|
新知：用向量求点到平面的距离的方法：
设A??,空间一点P到平面?的距离为d,平面?的
? 一个法向量为n，则
?????小结：求点到平面的距离的步骤： |PA?n|?D. = ?? ⑴ 建立空间直角坐标系，写出平面内两个不共线向|n|量的坐标；⑵ 求平面的一个法向量的坐标；
⑶ 找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐
19 ※ 典型例题
例1 已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离.
变式：如图,ABCD是矩形,PD?平面ABC,DPD?DC?a,AD?2a,M、N分别是AD、PB的中点,求点A到平面MNC的距离.
P
N
C
2008年下学期◆高二 月 日 班级： 姓名： 第三章 空间向量与立体几何 标；⑷ 代入公式求出距离.
探究任务二：两条异面直线间的距离的求法 例2 如图，两条异面直线a,b所成的角为?，在直线a,b上分别取点A',E和A,F,使得AA'?a,且 AA'?b.已知A'E?m,AF?n,EF?l，求公垂线AA'的长.
变式：已知直三棱柱ABC─A1B1C1的侧棱AA1?4,
底面△ABC中, AC?BC?2，且?BCA?90?,E是AB的中点,求异面直线CE与AB1的距离.
小结：用向量方法求两条异面直线间的距离，可以
先找到它们的公垂线方向的一个向量?n，再在两条直线上分别取一点A,B，则两条异面直线间距离
????d?n???n?AB?求解.
三、总结提升
※ 学习小结
1.空间点到直线的距离公式 2.两条异面直线间的距离公式
※ 知识拓展
用向量法求距离的方法是立体几何中常用的方法. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 在棱长为1的正方体ABCD?A'B'C'D'中，平面ABB'A'的一个法向量为 ；
2. 在棱长为1的正方体ABCD?A'B'C'D'中，异面直线A'B和CB'所成角是 ；
3. 在棱长为1的正方体ABCD?A'B'C'D'中，两个平行平面间的距离是 ；
4. 在棱长为1的正方体ABCD?A'B'C'D'中，异面直线A'B和CB'间的距离是 ；
5. 在棱长为1的正方体ABCD?A'B'C'D'中，点O是底面A'B'C'D'中心，则点O到平面A'CDB'的距离是 . 课后作业 1. 如图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，点M是棱AA1中点，点O是BD1中点，求证：OM是异面直线AA1与BD1的公垂线，并求OM的长.
2. 如图，空间四边形OABC各边以及AC,BO的长都是1，点D,E分别是边OA,BC的中点，连结DE. ⑴ 计算DE的长；
⑵ 求点O到平面ABC的距离.
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