Vs(t)?Vc(t)i(t)? R dVc(t)i(t)?Cdt——一阶常系数线性微分方程
dVc(t)11 ?Vc(t)?Vs(t)dtRCRC例②
m
f(t)=ρv
F(t)
F(t)-f(t)=ma
md?(t)dtdt??F(t)???(t)d?(t)??(t)m?F(t)m——一阶常系数线性微分方程
? 不同的系统可能具有基本一致的摸型
? 一阶动态连续时间系统的数学模型一般形式：
dy(t)dt?ay(t)?bx(t)
.
例③ 总贷款额P，贷款月利率a，还代期限N，每月还款额为R，求n个月末欠银行款y[n]。
解： y[n]=y[n-1]-R +ay[n-1]，n≥1
或 y[n]-（1-a）y[n-1]=-R , n≥1 边界条件：y[0]=P；y[N]=P
? 一阶离散时间系统的数学模型一般形式：
y[n]+ay[n-1]=bx[n] .
（2） 图形表示的系统模型
①三种基本运算单元
? 连续系统：
y (t)= x1 (t)+ x2 (t) x1 (t) ∑ x2 (t) x (t) x (t)
y(t)=ax (t) y(t)=ax (t)
a 或 a
相加
t ∫ 积分 倍乘
??x (t)
y(t)??x(t)dt
? 离散系统： 前两种类似连续系统；
x [n]
y[n]?x[n?1]
D 延迟 ②例子:
a. 由
x (t)
b dy(t)dt?ay(t)?bx(t)?y(t)??(bx(t)?ay(t))dt
y(t)
∫ -a b. y[n]+ay[n-1]=bx[n] .→y[n]= bx[n]-ay[n-1]
3.系统互联 A. 串联（级联） y1(t)=L1 x(t)
y2(t)=L1 y1(t)= L1L2 x(t) B. 并联 x(t)= x1(t)= x2(t)
y(t)=y1(t)+y2 (t)= L1 x(t)+ L2 x(t) =( L1 + L2 )x(t) C.
混联
x(t) x3(t) L3 y3(t) x1(t) L1 y1(t) L2 y2(t) y(t)
x(t)
x2(t) L2 y2(t) x1(t) L1 y1(t) y(t)
x(t) y1(t) L1 L2 y2(t) x[n]
b y[n] D -a y[n-1] x(t)= x1(t)= x3(t)
y(t)=y1(t)+y3 (t)= L2 y1(t)+ L3 x(t)
=( L1 L2 + L2 )x(t) 例.
y1(t)=x(t)+bx` (t) y(t)=y1(t)+cx``(t) = x(t)+bx` (t) +cx``(t) C. 反馈联结 y(t)=L1x1(t)
= L1（x(t)+ y2(t)） = L1(x1(t)+ L2 y(t))
? 输出信号y(t)通过一个反馈系统送回到输入端的连接—反馈联结 ① x(t)+ y2(t)——正反馈 ② x(t) -y2(t)——负反馈 例3．1
解：y1[n]=x[n]+10 y[n-2] y[n]= y2[n]= y1[n]+7y[n-1]
= x[n]+10 y2[n-2] +7y[n-1] y[n]- 7y[n-1]- 10 y[n-2]= x[n] 例3．2画出下面电路的反馈方框图 解：
v(t)?i2(t)?1x(t) x`(t) S1 x1(t) b L1 y1(t) y2(t) L2 S2 x``(t) c y(t) y(t) x(t)
x2(t) Rf R1 R2 X[n] y1[n] y2[n] 10 y[n-2] D1 7 D2 y[n] y[n-1] i(t) i1(t) i2(t) C R V(t) ?ct??i1(?)d?v(t)R1RCi(t)C C i(t) i1(t) i1(t)?i(t)?i2(t)dv(t)dt?v(t)?v(t)?i2(t) 1?ctV(t) ??i1(?)d?R
1.8 系统的特性与分类
i2(t)?v(t)R据系统的特性分类（6大类） 1．
线性系统与非线性系统
线性（叠加性）：
奇次性（比例性）：
x(t)?y(t)ax(t)?ay(t),a?R
可加性：
x1(t)?y1(t),x2(t)?y2(t)x1(t)?x2(t)?y1(t)?y2(t)。
（1） 线性系统：——具有线性特性的系统
或满足叠加性的系统： ? 连续系统
x1(t)?y1(t),x2(t)?y2(t),a,b?Rax1(t)?bx2(t)?ay1(t)?by2(t)。
? 离散系统
x1[n]?y1[n],x2[n]?y2[n],a,b?Rax1[n]?bx2[n]?ay1[n]?by2[n]
例1．y(t)??t??x(?)d?是否线性系统？
解：
x1(t)?y1(t)?x2(t)?y2(t)??t??tx1(?)d?x2(?)d?
???ax1(t)?bx2(t)?y(t)??a?t????ax??t1(?)?bx1(?)?d?t??
x1(?)d??b?x2(?)d??ay1(t)?by2(t)∴ 是线性系统。
例2．y[n]= y[n-1]+ x[n]是否线性系统？ 解：
y1[n]?y1[n?1]?x1[n]，或y2[n]?y2[n?1]?x2[n],y1[n]?y1[n?1]?x1[n],y2[n]?y2[n?1]?x2[n]
ax1[n]?bx1[n]?y[n]?y[n?1]?ax1[n]?bx1[n]
y[n]?y[n?1]?ax1[n]?bx1[n]?a(y1[n]?y1[n?1])?b(y2[n]?y2[n?1]) ?ay1[n]?ay1[n?1]?by2[n]?by2[n?1]即 ay1[n]?by2[n]?ay1[n?1]?ax1[n]?by2[n?1]?bx2[n] ∴ 是线性系统
例3． t=0-时，电容器两端电压vc(0-)，求vc(t)。 解：
dVc(t)dt?1RC?tR i(t) Vs(t) C Vc(t)
Vc(t)?1RC1Vs(t)
Vc(t)?eRCVc(0?)?RC?t?10_eRC(t??)Vs(?)d?
全响应=零输入响应 + 零状态响应 或 y(t)=yo(t)+yx (t)
响应（系统有储能）。
零输入响应（yo(t)）：无输入信号时系统仍有响应，实为系统的初始状态引起的
零状态响应（yx (t)）：完全由输入信号引起的响应（系统无储能或初态为零）。 上面，当Vc(0_)?0, 此时Vc(t)与Vs(t)无线性关系。但若满足下列三个条件仍之字为线性系统： ①分解特性
y(t)?yo(t)?yx(t)y[n]?yo[n]?yx[n]
②零输入线性
xo(0)?0,满足~x1(0)?yo1(t),~x2(0)?yo2(t),
a~x1(0)?b~x2(0)?ayo1(t)?byo2(t)~~x1(0)，x2(0)是系统的两个初态。