D?kdkkdt
（2） 微分方程建立的基础理论
? 电路系统 理论依据：
I=U/R、KVL、KCL。 R、C、L的伏安特性：
????或??? ??或?VL(t)?LiL(t)?1tdi(t)dt0L;
(t)dt?iL(0)QC?VLdt1Cic(t)?CVc(t)?dVc(t)?Vc(t)??t ;
0ic(t)dt?Vc(0)例：求is (t)与il (t)的关系 解： ① is (t)= ic (t)+ il (t) ② 对②式求导得： is (t) ic(t) il (t)
C=1/ 4F L=2H R1=1 R2=5
①式代入上式：? 力学系统
理论依据：牛顿运动定律。 2．
微分方程的求解
m?nkk??akDy(t)??bkDx(t)，?k?0k?0
(n?1)???y(0),y`(0),?y(?)—初始条件。0? （1） 解的形式：
y(t)?yh(t)?yp(t)
?yo(t)?yx(t)?瞬态解?稳态解
y(t) yh(t) yp(t) y0(t) yx(t) 完全解或通解（全响应） 奇次解（自然响应），反映系统本身的特征和状态 特解（受迫响应），由输入信号和系统特征决定 零输入响应，由系统的初始状态和特征决定，与输入信号无关，此时x(t)=0 零状态响应，由系统特征和输入信号决定，与系统初始状态无关 yh(t)=y0(t) +( yx(t) 的一部分） yx(t)= yp(t)+ ? （由输入信号诱发的，决定于系统特征的响应） 瞬态响应——随时间而趋于零的响应（如y(t)?e?t）； ?t稳态响应——随时间而趋于一个稳定值或常数的响应（如y(t)?1?e）。
（2） 解与初始条件
- ∞ - + ~ t ) 0 0 0 x (x(t)t
0- 时刻的起始状态 （~x(0?)?~x(0?)） (k)-(k)+(k)+(k)+- y(0) y(0)+ y(0)= y(0) ox0时刻的起始条件 (k)-（ y(0)= yo(k)(0+) ） y(t)=y自(t)+ y受(t)
~x(0?)?~x(0?),x(0?),x(t)初始条件
=yo(t)+ yx(t) ~x(0?)是0+时刻系统的初始状态（储能）
x(0?)是系统含有储能元件时，当信号x(t)接入时的瞬间（0+时刻）引起的
初始状态发生变化。
注意：通常题目给出的初始条件是yo(k)(0+)= y(k)(0+)；而初始状态发生变化时
的yx(k)(0+)需专门求出（后面介绍）。
（3）零输入响应与零状态响应（初始条件无跃变时：x(0+)=0、yx(k)(0+)=0）
n?ky(t)?box(t)，?aDk?k?0微分方程： ?t≥0
(n?1)?y(0),y`(0),?y(0)—(不全为零）。?①零输入响应：
n?ky(t)?0，?aDk??k?0
(n?1)?y(0),y`(0),?y(0)—(不全为零）。?n求特征方程n?k?0kakr?0的根ri; t≥0
k?yo(t)??ck?0yk(t)由初始条件y(0),y`(0),?y(0)(n?1)定出ck.即可。
其中yk(t)由特征方程根的模式决定：
特征根 对每一单根 λ=γ 对于k重实根λ=γ 对于一对单复根 λ1,2=α±jβ 对于一对m重复根 λ1,2=α±jβ
②零状态响应：
解方程：奇次解中的对应项 给出一项ce 给出k项c1eγt+ c2t eγt+?+ck tk-1 eγt 给出两项 c1eαtcosβt + c2 eαt sinβt 给出2m项 c1eαtcosβt + c2 teαt cosβt+?+cmtm-1 eαt cosβt + d1eαtsinβt + d2 teαt sinβt+?+dmtm-1 eαt sinβt γtn?k?akDy(t)?box(t)，??k?0
(n?1)?y(0)?y`(0)???y(0)?0—(表零状态）。?n先求特征方程?ak?0kkr?0的根nri;
k?齐次解：yh(t)??ck?0yk(t)和特解：yp(t)
yx(t)?yh(t)?yp(t)n??ck?0kyk(t)?yp(t) t≥0
由初始条件y(0)?y`(0)???y(0)③完全响应：
(n?1)?0定出ck即可。
y(t)?yo(t)?yx(t)?yh(t)?yp(t)?瞬态解?稳态解
（4）自然响应与受迫响应
n?ky(t)?box(t)，?aDk??k?0
(n?1)?y(0),y`(0),?y(0)—(不全为零）。? t≥0
先求齐次解：
nyh(t)?再求特解：
?ck?0kyk(t)；
yp(t)；
完全响应：
y(t)?yh(t)?yp(t)?瞬态解?稳态解例：已知某系统的微分方程模型为
ddt22 t≥0。
y(t)?3d2dty(t)?12y(t)?x(t)
初始条件y(0)=1,y(1)(0)=0,输入x(t)=5e-3tu(t),求系统的零输入响应y0(t),零状态响应yx(t)以及完全响应y(t)。 解一：(a)求零输入响应y0(t)。
由特征方程 λ+3λ/2+1/2=0 的特征根为 λ1=-1，λ2=-1/2， 因此，零输入响应为
y0(t)=c1e-t+c2e-t/2 ?(1)
由初始条件y(0)=1，y(1)(0)=0，解得c1=-1，c2=2
y0(t)=-e-t+2e-t/2
(b)求零状态响应yx(t)。
设特解为yp(t)=A e-3t，代入微分方程得：A=1，零状态响应的特解、奇次解和完全解分别是
yp(t)= e-3t yh(t)=c1e-t+c2e-t/2
y(t)= yp(t)+ yh(t)= c1e-t+c2e-t/2+e-3t ? (2)
将初始条件y(0)=y(1)(0)=0（零状态初始条件）,代入上式得c1= -5，c2=4 因此，零状态响应是：
yx(t)= yh(t)+ yp(t)=( -5e-t+4e-t/2+e-3 t)u(t) (u(t)表示t>0)
(c) 完全解（全响应）
y(t)= y0(t)+ yx(t)=[ -e-t+2e-t/2 -5e-t+4e-t/2 +e-3 t] u(t) =(-6e-t+6e-t/2)u(t) + e-3 t u(t)
自然响应 受迫响应
若方程（2）代入初始条件由初始条件y(0)=1，y(1)(0)=0会得到怎样的结果？ 此时，c1= -6，c2=6，则有
y(t)= yh(t)+ yp(t)
=(-6e-t+6e-t/2)u(t) + e-3 t u(t) 全响应
自然响应 受迫响应 分析：
? 零状态响应yx(t)= yh(t)+ yp(t)=( -5e-t+4e-t/2)u(t) +e-3 tu(t) 中的第一项表示
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