《高等数学A》习题册 姓名： 班级： 学号： 1
第一章 函数与极限
第一节 映射与函数
1、下列各题中，函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？
(1)f(x)?lgx2,g(x)?2lgx;
（2） f(x)?x， g(x)?x2.
2、求函数y?3?x?arctan1x 的自然定义域。
3、已知f(x)?11?x，求f[f(x)]的定义域。
4、设f(x)??lgx,x?0?；g(x)??1,x?0?x?1,x?0?，求f[g(x)]。
??1,x?0
5、已知f(x)?3x?5，且f[g(x)]?2x，求g(x)。
第二节 数列的极限
1、 观察一般项xn如下的数列{xn}的变化趋势，判断它们是否存
在极限。如果存在极限，写出它们的极限，如果不存在极限，
请写出原因：
（1）xn1n?(?1)n （2）x1n?2?n2
（3）xn=(?1)n?1 （4）xn?n=sin2
(5)xn?n?1n （6）x?1n?nn?1
n（7）xn?2?13n
（8）xn=(?1)n?1?n
《高等数学A》习题册 姓名： 班级： 学号： 2
n2、 证明数列354n?(?1)2，
23，
4，5?，
的极限是1
n
3.根据数列极限的定义证明：limn2?9．
n??n?1
第三节 函数的极限
1、根据函数极限的定义证明：lim(3x?1)?8.
x?3
2、根据函数极限的定义证明：lim1?x3??2x3?12.
x
3、求f(x)?xxx,g(x)?x当x?0时的左、右极限，并说明它们在
x?0时的极限是否存在。
《高等数学A》习题册 姓名： 班级： 学号： 3
4、证明：若limf(x)?A，则limf(x)?A，但反之不真。
第五节 极限运算法则
x?x0x?x0
第四节 无穷小与无穷大
1、两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之。
2、求下列极限并说明理由： （1）lim5x?10 （2）x??xlim4?x2x?22?x
3、函数y?xcosx在（??,??）内是否有界？这个函数是否为x???时的无穷大？为什么？
1、 计算下列极限：
(1)lim(x?h)2?x2h?0h
(2)lim(1?1?11n??24???)
2n
(3)lim1?2?3???(n?1)n??n2
（4）limxxxx
x??
《高等数学A》习题册 姓名： 班级： 学号： 4
（5）limx2sin1x?0x
（6）lim（?2）n?3nx??(?2)n?1?3n?1
7）lim??1?1?x????1?22?3??1?n(n?1)?? ?8）lim?x????n?3n?n?n???
第六节 极限存在准则 两个重要极限
1、计算下列极限： （1）limsin5x
x?04x
（2）limx?0cotx（
x （3）limsinx3x?0(sinx)2
（4）lim(1?1x??x)kx
（
（
《高等数学A》习题册 姓名： 班级： 学号： 5
1（5）lim?x?0?1?x?x?1?x?
?
1、利用极限存在准则证明：
limn(1?1???1)?n??n2??n2?2?n21。 ?n? 2、设lim(a?b)x?b ，确定a和b。
x?13x?1?x?3?4
第七节 无穷小的比较
1、当x?1时，无穷小1?x和1?x2 是否同阶？是否等价？
2、利用等价无穷小的性质，求极限 （1）lim1?cos2x
x?0xsinx （2）limsinx?tanx.
x?0(31?x2?1)(1?sinx?1)
3、证明：当x?0时，有arctanx~x.