《高等数学A》习题册 姓名： 班级： 学号： 11
第五节 函数的微分
1、 将适当的函数填入下列括号内，使等式成立（C为任意常数）：
（1）d()?3xdx
（2）d()?11?xdx
（3）d()?1dx
x （4）d()?sec23xdx2、求下列函数的微分：
（1）y?4x?5x
（2）y?x2e2x
（3）y?arcsin1?x2
（4）y?x2ln(x2)?cosx
3、计算根式：665 的近似值。
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第三章中值定理与导数的应用
第一节 微分中值定理与洛必达法则
一、填空题 1．极限limex?1x?0?x?_______.
2．极限lim[1?1x2xtanx]?______.
x?0?ln(1?bx)3．设函数f(x)???x,x?0,且1?bx?0,则当f(x)在???1,x?0x?0处可导时，f'(0)?______.
ln(1?14．极限limx)x???arctanx?_______.
二、选择题
1．当x?0时，曲线y?xsin1x有（ ）
（A）有且仅有水平渐近线 （B）有且公有铅直渐近线
（C）既有水平又有铅直渐近线 （D）既无水平又无铅直渐近线 2．在区间[-1，1]上满足罗尔定理条件的函数为（ ） （A）f(x)?1x2 （B）f(x)?x
（C）f(x)?1?x2 （D）f(x)?x2?2x?1
3．在以下各式中，极限存在，但不能用罗必塔法则计算的是（ ） ax（A）limsinx1x （B）lim(1?x)x （Climx?sinxx?0x???）
x??x （D）
limex??xn
三．利用洛必塔法则计算下列极限： （1）limln(1?x)
x?0?x x（2）lime?e?xx?0sinx
（3）limsinx?x
x?0
（4）lim?1cotx?x?0??x2?x? ?
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四、证明题
1.设f(x)在(a,b)内具有二阶导数，且f(x1)?f(x2)?f(x3)，其中
a?x1?x2?x3?b，试证明: 在(x1,x3)内至少有一点?，使得
f??(?)?0。
2.设a?b?0，n?1，证明不等式:
nbn?1(a?b)?an?bn?nan?1(a?b)。
3．证明方程x5?x?1?0只有一个正根。
4.证明：若函数在(??,??)内满足关系式f(x)?f'(x)，且f(0)1?则f(x)?ex。
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第二节 导数的应用
一、填空题
1．函数y?x?2x取极小值的点是x?_______.
2．若f(x)的二阶导数存在，且f''(x)?0,f(0)?0，则F(x)?f(x)x在0?x???上是单调______.
53．曲线y?x?x3的凹区间是______.
4．设曲线y?ax3?bx2?cx?d经过（-2，44），x??2为驻点， （1，-10）为拐点，则a,b,c,d分别为_______. 二、选择题
1．函数y?xx在区间[1e,??)上（ ）
1（A）不存在最大值和最小值 （B）最大值是 ee
（C）最大值是(11e11e) （D）最小值是(e)e
x2sin12．极限limx?（ ） x?0sinx（A）0 （B）1 （C）? （D）不存在，但不是? 3．设f(x)在R上可导，且对任何x1,x2,当x1?x2时，都有
f(x1)?f(x2),则（ ）
（A）对任意x,f'(x)?0 （B）对任意x,f'(?x)?0 （C）函数f(?x)单调增加 （D）函数?f(?x)单调增加
4．若f(x)??f(?x),且在0?x???内f'(x)?0,f''(x)?0，则f(x)在(??,0)内必有（ ）
（A）f'(x)?0,f''(x)?0 （B）f'(x)?0,f''(x)?0 （C）f'(x)?0,f''(x)?0 （D）f'(x)?0,f''(x)?0
三、计算题
（1）求函数y?x?ln(1?x)的极值；
（2）已知y?2x3?3x2，求此函数在?1?x?4区间上的最大值和最小值。
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四．试问a为何值时，函数f(x)?asinx?13sin3x在x??3处取得
极值？它是极大值还是极小值？并求此极值。
五．要造一圆柱形油罐，体积为V，问底半径r和高h各等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？
六．设有质量为5Ｋg的物体，置于水平面上，受力F的作用而开始移动。设摩擦系数??0.25，问力F与水平线的交角?为多少时，才能使力F的大小为最小。