数学二历年考研试题
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．
x2?x(1)曲线y?2的渐近线条数 ( )
x?1(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
(2) 设函数f(x)?(ex?1)(e2x?2)?(enx?n)，其中n为正整数,则f?(0)? ( )
(A) (?1)n?1(n?1)! (B) (?1)n(n?1)! (C) (?1)n?1n! (D) (?1)nn!
(3) 设an?0(n?1,2,3?),Sn?a1?a2?a3???an，则数列?Sn?有界是数列?an?收敛的
( )
(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要
k?2(4) 设Ik??exsinxdx,(k?1,2,3),则有
0 ( )
(A) I1?I2?I3 (B) I3?I2?I1 (C) I2?I3?I1 (D) I2?I1?I3 (5) 设函数f(x,y）为可微函数，且对任意的x,y都有
?(x,y)?(x,y)?0,?0,则使不等式?x?yf(x1,y1)?f(x2,y2)成立的一个充分条件是
( )
(A) x1?x2,y1?y2 (B) x1?x2,y1?y2 (C) x1?x2,y1?y2 (D) x1?x2,y1?y2 (6) 设区域D由曲线y?sinx,x???2,y?1围成，则??(x5y?1)dxdy?
D ( )
(A) ? (B) 2 (C) -2 (D) -?
?0??0??1???1????????? (7) 设α1??0?,α2??1? ,α3???1? ,α4??1? ,其中c1,c2,c3,c4为任意常数，则下列向量
?c??c??c??c??1??2??3??4?
1
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组线性相关的为 ( )
(A)α1,α2,α3 (B) α1,α2,α4 (C)α1,α3,α4 (D)α2,α3,α4
?100???(8) 设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P?1AP??010?.若P??α1,α2,α3?，
?002???Q??α1?α2,α2,α3?则Q?1AQ? ( )
?100??100??200??200?????????(A) ?020? (B) ?010? (C) ?010? (D)?020?
?001??002??002??001?????????二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．
d2y(9) 设y?y(x)是由方程x?y?1?e所确定的隐函数，则2dx2yx?0? . (10)limn? ?2???2?222?n??1?n2?nn?n?? . (11) 设z?f?lnx??111???1??z2?z,x?y? . fu??可微，则?y?其中函数?x?y(12) 微分方程ydx?x?3y?2?dy?0满足条件yx?1?1的解为y? .
(13) 曲线y?x?x?x?0?上曲率为22的点的坐标是 . 2(14) 设A为3阶矩阵，A=3，A*为A伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则
BA*? .
三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明．．．过程或演算步骤.
(15)(本题满分 10 分)
已知函数f?x??(I)求a的值;
k(II)若x?0时，f?x??a与x是同阶无穷小，求常数k的值.
1?x1?，记a?limf?x?，
x?0sinxx(16)(本题满分 10 分)
2
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求函数f?x,y??xe?x2?y22的极值.
(17)(本题满分12分)
过(0,1)点作曲线L:y?lnx的切线,切点为A,又L与x轴交于B点,区域D由L与直线AB围成,求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.
(18)(本题满分 10 分)
计算二重积分
??xyd?，其中区域D为曲线r?1?cos??0?????与极轴围成.
D(19)(本题满分10分)
已知函数f(x)满足方程f??(x)?f?(x)?2f(x)?0及f??(x)?f(x)?2ex, (I) 求f(x)的表达式;
(II) 求曲线y?f(x2)?x0f(?t2)dt的拐点.
(20)(本题满分10分)
证明xln1?xx2 1?x?cosx?1?2,(?1?x?1). (21)(本题满分10 分)
(I)证明方程xn+xn-1???x?1?n?1的整数?，在区间??1?2,1???内有且仅有一个实根；(II)记(I)中的实根为xn，证明limn??xn存在，并求此极限.
(22)(本题满分11 分)
??1a00?设A??01a0????001a??1???，????1?a001????0??
?0??(I) 计算行列式A；
(II) 当实数a为何值时，方程组Ax??有无穷多解，并求其通解.
(23)(本题满分11 分)
??101?已知A??011???，二次型f?x1,xT??10a?2,x3??xT?AA?x的秩为2，
?0a?1??(I) 求实数a的值；
(II) 求正交变换x?Qy将f化为标准形.
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