数学二历年考研试题
（21） (本题满分11分)设函数
f(x),g(x)在?a,b?上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，
f(a)?g(a),f(b)?g(b)，证明：存在??(a,b)，使得f??(?)?g??(?).
（22） (本题满分11分) 设二元函数
?x2,|x|?|y|?1?1f(x,y)??,1?|x|?|y|?2?x2?y2?，计算二重积分
??f(x,y)d?，其中D???x,y?|x|?|y|?2?.
D
（23） (本题满分11分)
?x1?x2?x3?0?设线性方程组?x1?2x2?ax3?0与方程x1?2x2?x3?a?1有公共解，求a的值及所有公共解.
?2x?4x?ax3?02?1
（24） (本题满分11分)
设三阶对称矩阵向量，记B?A的特征向量值?1?1,?2?2,?3??2，?1?(1,?1,1)T是A的属于?1的一个特征
A5?4A3?E，其中E为3阶单位矩阵.
（I）验证?1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； （II）求矩阵B.
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数学二历年考研试题
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、 填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）曲线
y?x?4sinx 的水平渐近线方程为
5x?2cosx（2）设函数
?1x2?3?0sintdt,x?0在x?0处连续，则a? . f(x)??x??a, x?0（3）广义积分
???0xdx? . (1?x2)2（4）微分方程（5）设函数
y??y(1?x)的通解是 xdydxx?0y?y(x)由方程y?1?xey确定，则
? （6）设矩阵
?21?A???，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA?B?2E，则
??12?
B? . 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数分别为
且f?(x)?0,f??(x)?0，?x为自变量x在点x0处的增量，?y与dyy?f(x)具有二阶导数，
f(x)在点x0处对应的增量与微分，若?x?0，则[ ]
(A) (C)
0?dy??y. (B) 0??y?dy. ?y?dy?0.
(D)
dy??y?0 .
x（8）设
f(x)是奇函数，除x?0外处处连续，x?0是其第一类间断点，则?f(t)dt是
0（A）连续的奇函数. （C）在x
（B）连续的偶函数
?0间断的奇函数 （D）在x?0间断的偶函数.
[ ]
（9）设函数g(x)可微，h(x)?e
（A）ln3?1.
1?g(x),h?(1)?1,g?(1)?2，则g(1)等于
（B）?ln3?1.
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数学二历年考研试题
（C）?ln2?1.
（D）ln2?1.
[ ]
（10）函数
y?C1ex?C2e?2x?xex满足的一个微分方程是
（A）（C）
y???y??2y?3xex. y???y??2y?3xex.
?40
1（B）（D）
y???y??2y?3ex.
y???y??2y?3ex. [ ]
（11）设
f(x,y)为连续函数，则?d??f(rcos?,rsin?)rdr等于
0（Ａ）
?220dx?1?x2xf(x,y)dy. （B）?f(x,y)dx.
(D)
220dx?dy?1?x20f(x,y)dy.
(C)
?220dy?1?y2y?221?y200f(x,y)dx . [ ]
（12）设
f(x,y)与?(x,y)均为可微函数，且?y?(x,y)?0，已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件
?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是 [ ]
(A) 若(B) 若
fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.
(C) 若(D) 若
（13）设?1,?2,?,?s均为n维列向量，
(A) (B)
A为m?n矩阵，下列选项正确的是 [ ]
A?1,A?2,?,A?s线性相关. A?1,A?2,?,A?s线性无关.
若?1,?2,?,?s线性相关，则若?1,?2,?,?s线性相关，则
(C) 若?1,?2,?,?s线性无关，则(D) 若?1,?2,?,?s线性无关，则
（14）设
A?1,A?2,?,A?s线性相关.
A?1,A?2,?,A?s线性无关.
A为
3阶矩阵，将
A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的?1倍加到第2列得C，记
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数学二历年考研试题
?110???P??010?，则
?001???（Ａ）C（Ｃ）C?P?1AP. ?PTAP.
（Ｂ）C （Ｄ）C?PAP?1. ?PAPT.
［ ］
三 、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分） 试确定A,B,C的值，使得e无穷小.
x(1?Bx?Cx2)?1?Ax?o(x3)，其中o(x3)是当x?0时比x3高阶的
（16）（本题满分10分）求
arcsinex?exdx.
?(x,y)x2?y2?1,x?0（17）（17（）本题满分10分）设区域D?1?xy 计算二重积分???，
1?x?y2D2dxdy.
（18）（本题满分12分）设数列
?xn?满足0?x1??,xn?1?sinxn(n?1,2,?)
1?xn?1?xn2（Ⅰ）证明limxn存在，并求该极限；（Ⅱ）计算lim??. n??n???xn? （19）（本题满分10分）
证明：当0?a?b??时，
bsinb?2cosb??b?asina?2cosa??a.
（20）（本题满分12分）
设函数
f(u)在(0,??)内具有二阶导数，且z?f?x?y22??2z?2z?2?0. 满足等式2?x?y（I）验证（II）若
f??(u)?f?(u)?0； uf(1)?0,f?(1)?1，求函数f(u)的表达式.
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数学二历年考研试题 （21）（本题满分12分）
?x?t2?1已知曲线L的方程?2?y?4t?t,(t?0)（I）讨论L的凹凸性；（II）过点(?1,0)引L的切线，求切点
(x0,y0)，并写出切线的方程；（III）求此切线与L（对应于x?x0的部分）及x轴所围成的平面图形的面积.
（22）（本题满分9分）
已知非齐次线性方程组
?x1?x2?x3?x4??1??4x1?3x2?5x3?x4??1有?ax?x?3x?bx?134?123个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵
A的秩
r?A??2；（Ⅱ）求a,b的值及方程组的通解.
（23）（本题满分9分）
设3阶实对称矩阵
A的各行元素之和均为
3,向量?1???1,2,?1?,?2??0,?1,1?TT是线性方程组
Ax?0的两个解.
(Ⅰ) 求A的特征值与特征向量；
(Ⅱ) 求正交矩阵Q和对角矩阵?,使得Q
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TAQ??.